解线性方程组的解法

1第三章2线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用.第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组.本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相关的向量线性相关性等.其主要知识结构如下：3线性方程组通解基础解系解的结构极大线性无关组线性相关、线性无关线性表示、线性组合向量解的关系阶梯阵，得同解方程组求解方法：消元法，有非零解，只有零解，无解，有无穷多解，有唯一解解的判定)()()()()()()()()(AβAAOAxAβAAβAAβAβAxnrnrrrnrrnrr4§3.1消元法第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(systemoflinearequations)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（3.1）写成矩阵形式为βAx其中mnamamaaaaaaann212222111211Amnbbbxxx2121,βx5分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficientmatrix)、未知量矩阵和常数项矩阵.当时，称为n元齐次线性方程组；当时，称为n元非齐次线性方程组.并称T)0,,0,0(OβOAxOββAxmnnbbbmnamamaaaaaaa21212222111211),(βAA为方程组（3.1）的增广矩阵(augmentedmatrix).因为一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.如果可以使（3.1）中的每个等式都成立，则称为线性方程组（3.1）的一个解(solution).线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解nncxcxcx,,,2211Tnccc),,,(21x6集(solutionset).若两个线性方程组的解集相等，则称它们同解(samesolution).若线性方程组（3.1）的解存在，则称它有解或相容的.否则称它无解或矛盾的.解线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求出它的全部解.消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组.在中学代数里我们学过用消元法求解二元或三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更多未知量或方程的线性方程组.为此，先看一个例子.7例1解线性方程组452462213232131321xxxxxxxx)3()2()1(解原方程组2451323232321)1(2)3()1()2(xxxxxxx)5()4()1(183562233231)4(4)5()4()1(xxxxx)7()4()6(65333231)7(31)6(21xxxxx619321)9()4()9()8(xxx)9()4()8(显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组）同解，所以原方程组有唯一解6,1,9321xxx8由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可以对方程组反复施行以下三种变换：1.交换两个方程的位置；2.用一个非零数乘某个方程的两边；3.把一个方程的倍数加到另一个方程上.称它们为线性方程组的初等变换.显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性.在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵.下面我们将例1的求解过程写成矩阵形式：921405110131245246202131213122rrrrA610051103101183005110620231232131214rrrrrr6100101090013231rrrr所以原方程组有唯一解6,1,9321xxxT)6,1,9(x即10一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵000000000000000001000100011122121111rrrnrrnrnrddccdccdccA因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程组（3.1）的系数矩阵与增广矩阵的秩分别为AA11rr)(A.0,10,)(11时当时，当rrdrdrrA与由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性可知：线性方程组（3.1）与阶梯形方程组1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxcxcxdxcxcxdxcxcx（3.2）同解，且其解有三种情形：情形1，当，即时，方程组（3.1）无解.情形2，当，即时，方程组（3.1）有唯一解01rd)()(AArrnrdr,01nrrr)()(AATnddd),,,(21x12情形3，当，即时，方程组（3.2）可变成nrdr,01nrrr)()(AAnrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111其中在相应数域上可任意取值，称为自由未知量，以下我们在实数域R上讨论，任意给定自由未知量一组值：代人可求得的相应值，把这两组数合并起来就得到方程组（3.1）的一个解，因此方程组（3.1）有无穷多个解，其一般解为nrrxxx,,,21rnnrrkxkxkx,,,2211rxxx,,,2113nrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111（为自由未知量）nrrxxx,,,21或rnnrrnnrrrrrnnrkxkxkckcdxkckcdx1111111!111),,(1Rrnkk综上所述，我们可得以下重要定理.14定理3.1（线性方程组有解判别定理）线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵等秩，即βAxA),(βAA),()()(βAAArrr推论3.1（解的个数定理）（1）n元线性方程组有唯一解的充要条件是.βAxnrr),()(βAA（2）n元线性方程组有无穷多解的充要条件是.此时它的一般解中含个自由未知量.βAxnrrr),()(βAArn（3）n元线性方程组无解的充要条件是.βAx),()(βAArr由于上述讨论并未涉及常数项的取值，因此对时的n元齐次线性方程组mbbb,,,21021mbbb15000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(3.3)即，显然有，由定理3.1可得下述定理.OAx)()(AArr定理3.2（1）n元齐次线性方程组只有零解的充要条件是它的系数矩阵的秩.（2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数矩阵的秩.OAxOAxnr)(Anr)(AAA推论3.2（1）n个方程的n元齐次线性方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式.（2）n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.OAx0AOAx0A16（3）若n元齐次线性方程组中方程个数m小于未知量个数n，则它必有非零解.书例解线性方程组215928232342532432143214214321xxxxxxxxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵作初等行变换，有A215921823213104251321A2661200133600133600513211413122rrrrrr170000000000613211002321021231232461212rrrrrrr所以同解方程组为613212321243421xxxxx一般解为434212161321223xxxxx（为自由未知量）42,xx12315006313006313001262618或1122132423122213162xkkxkxkxk),(21Rkk注自由未知量的选取不唯一，如例2中，可化为A00000000003131200320121A所以一般解为343212313232xxxxx（为自由未知量）32,xx19例3解线性方程组.2875342622321321321xxxxxxxxx解2817534216122),(bA3421096031911703421032031810342131810621300解得唯一解.23x,32x,11x20例4解线性方程组解322122351311321),(bA.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx113212000010450113211045010450最后一个为矛盾方程组,20故方程组无解.21例5t为何值时线性方程组解324622432132131txxxtxxxtxx有解?并求解.324162214101tttA,100023210101ttt3421023210101ttt当1t时，2)()(ArAr,方程组有无穷多解。22例6解线性方程组解.033450622032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知个数，故必有非零解。只需对系数矩阵施以初等行变换。13345622103112311111A143253rrrr6221062210622101111123