现代控制理论7

9.2线性系统的可控性与可观测性第九章线性系统的状态空间分析与综合本节目标:1.识记(1)(2)2.理解(1)线性变换的意义(2)结构分解的意义3.应用(1)如何构造P矩阵？1、状态空间表达式的线性变换设系统动态方程为令式中为非奇异线性变换矩阵，它将变换为，变换后的动态方程为式中并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使阵规范化，并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，再引入反变换关系，得出最终结果。7、线性定常系统的线性变换cxybuAxx,xPxPxxyxcyubxAx,cPcbPbAPPA11,AxPx1①思路：（规范型）（不规范）等价变换yudxcyubxAxducxybuAxxxpx_②变换前后系数矩阵关系：,,xpxxpxduxcpybuxApxp代入原状态方程，有duxcpybupxAppx11线性定常系统的线性变换（1）化阵为对角型1）设阵为任意形式的方阵，且有个互异实数特征值，则可由非奇异线性变换化为对角阵。P阵由阵的实数特征向量组成n,,,21AnnAPP111),,2,1(nipiAnpppP21特征向量满足2）若阵为友矩阵，且有个互异实数特征值则下列的范德蒙特矩阵可使对角化：nipApiii,,2,1n,,,21An(mod)VanderePA1121122221211210111,100001000010nnnnnnnPaaaaA3）设阵具有重实数特征值，其余为个互异实数特征值，但在求解时仍有个独立实特征向量，则仍可使阵化为对角阵。Am1)(mn),,2,1(1mipApiimmppp,,,21A111100nnPAPnmmpppppP121式中是互异实数特征值对应的实特征向量。nmmppp,,,21uxx10051166116110变换为规范型。例：试将状态方程03216116511661161123AI解：Ⅰ.求特征值：Ⅱ.求特征向量和变换矩阵P,111pAp13121113121151166116110pppppp1011pλ=-1对应的p1961,42132pp941620111P12/3334322/531P132,30002000111bPbAPPA例：求矩阵122212221A相应的标准型。51122212221)det()(2AI解得特征根：12,153解：Ⅰ.求特征值：5111J可能形式：Ⅱ.求特征向量和变换矩阵P511111pAp3121113121111122212221pppppp1011p1101p和由此可知，A可化为对角型同理：333pAp3332313332315122212221pppppp1113p111110101P111121112311PbPbAPPA11,500010001nmAPPJ010111111（2）化阵为约当阵1）设阵具有重实特征值，其余为个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实特征向量，只能化为约当阵。Am1)(mniipAp11pAJA中虚线示出存在一个约当块。式中是广义实特征向量，满足是互异特征值对应的实特征向量。JnmmpppppP121mppp,,,32mmpppAppp211112111nmpp,,1例：设6阶矩阵A的特征多项式是则必有非奇异矩阵P，使P-1AP成为下列6个矩阵之一（只能是其中的一个）它们是32)1)(2()det()(AI111112001011112001011120010111112001111200111200例：求矩阵201034011A相应的标准型。212201034011)det()(AI解得特征根：2113,2解：Ⅰ.求特征值：1112J可能形式：Ⅱ.求特征向量和变换矩阵P11222111JAPP由此可得321pppP3222211321ppppApApAp232221100ppAIpAIpAI即2321002ppAIpAIpAI004031121112111ppppp002402321222122212pppppp323313222313122313242ppppppppp由此解得特征向量p1，p2及广义特征向量p3依次为Tp]100[1Tp]121[2Tp]110[3故所求矩阵：111120010P验证：11121APP2）设为友矩阵，具有重实特征值，且只有一个独立实特征向量，则使约当化的为式中mA11pAPnmnnppppppP111112112111＝Tnp1121111例：已知系统矩阵010001230A具有特征值，试变换阵为约当阵。12132A解：首先判断重根所对应特征向量的只具有一个独立特征向量112131221131011011-11221-24pPpp18-2-1163-39121P1-1100-10002PAP（3）化可控系统为可控标准型在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210121与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故，系统一定可控，这就是形如上式中的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵形如S0detSbA,S21111110100100010000nnnnnaaaabAAbbS一个可控系统，当不具有可控标准型，一定可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为进行变换，即令变换为要求bA,buAxx1PzPx1PbuPAPz11000,10000100001012101PbaaaaPAPn下面具体推导变换矩阵：设变换矩阵为根据阵变换要求，应满足变换要求，有展开为PPTTnTTpppP21APnnnnnppppaaaaApppp1211210121100001000010经整理有nnnnnpapapaAppAppAppAp1211013221nnnpApAppApAppAp111321221由此可得变换矩阵又根据阵变换要求，应有即1111nApAppPbP100111111bAAbbpbApAppPbnn10011bAAbbpn？故该式表明是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出变换矩阵的求法如下：1）计算可控性矩阵；2）计算可控性矩阵的逆阵，设一般形式为3）取出的最后一行（即第行）构成行向量111100bAAbbpn1p1PbAAbbSn11－SnnnnnnSSSSSSSSSS2122221112111n1－S1pnnnnSSSp2114）构造阵5）便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。P1111nApAppp1P例：（9-25）将下列状态方程uxx114321化为可控标准型。设系统为，则系统为系统的对偶系统，其动态方程分别为当为的对偶系统时，也是的对偶系统。不难验证，系统的可控性矩阵与对偶系统可观测性矩阵完全相同；),,(1CBAS),,(2TTTBCAS1SCxyBuAxxS,:1zBCzAzSTTT,2：2S1S2S1SBAABBn12S1STTnTTTTTTTTBABAB)())(()()()(12、对偶原理系统的可观测性矩阵与对偶系统的可控性矩阵完全相同。2S1STnTTTTCACAC1)(TnTTTTCACAC1）（应用对偶原理，把可观测的单输入－单输出系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入－单输出系统动态方程为系统可观测，但不是可观测标准型。其对偶系统动态方程为对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型。cxybuAxx,cA,zbcAzTTT,下面仅给出其计算步骤：1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵）2）求的逆阵，且记为行向量组3）取的第行，并按下列规则构造变换矩阵2VTnTTTTcAcAcV12)(12V2VTnTTV2112nTnP12V1)(nTTnTTnTnAAP4）求的逆阵，并引