数理统计5.1大数定律

目录上页下页结束概率统计教研室第一节大数定律一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结目录上页下页结束概率统计教研室例2测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a,量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.例1掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率是1/6,在掷的次数比较少时,出现一点的频率可能与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现一点的频率接近1/6几乎是必然的.一、问题的引入目录上页下页结束概率统计教研室这两个例子说明：在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性.目录上页下页结束概率统计教研室定理5.1契比雪夫不等式证明.}{,,)(,)(222成立不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理εσεμXPεσXDμXEX取连续型随机变量的情况来证明.则有的概率密度为设),(xfX2)(1}|)({|XDXEXP目录上页下页结束概率统计教研室.}{22εσεμXPxxfμxεd)()(122.122σεxxfεμxεμxd)(2222}{εσεμXP.1}{22εσεμXP得}{εμXPεμxxxfd)(目录上页下页结束概率统计教研室切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的0,当方差越小时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量．当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于的概率的估计值．切比雪夫不等式的用途：（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率或区间内取值的下界。目录上页下页结束概率统计教研室例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)做题时如何选取？目录上页下页结束概率统计教研室2)2100()(1XD由切比雪夫不等式P{|X-E(X)|2100}2)2100700(198911即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}目录上页下页结束概率统计教研室【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p=0.75，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90？解：设需做n次试验，其中成功的次数为X，则X～B(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1–p)。因为根据契比谢夫不等式应有}76.074.0{nXP2201.0)1(11pnpn}01.0|75.0{|nXP201.0)(1}76.074.0{nXDnXP目录上页下页结束概率统计教研室令解得所以至少应做18750次试验．90.001.0)1(1122pnpn201.01.0)1(ppn1875001.01.025.075.02目录上页下页结束概率统计教研室4142}4|20{|22XP•例3:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.解}4|20{|XP}4|20{|1XP43411目录上页下页结束概率统计教研室【练习】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试估计及格率至少为多少？解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X)=80，方差D(X)=100，所以P{60X100}P{60X100}=P{|X–80|20}所以及格率至少为75%．%7575.0)20(10012目录上页下页结束概率统计教研室练习设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。解令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时()7000,EXnp()2100.DXnpq2{68007200}2100{|7000|200}10.95200PXPX．由切贝雪夫不等式可得:目录上页下页结束概率统计教研室定义：若存在常数a,使对于任何二、依概率收敛的概念则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a,01}{limaXPnn有记：aXPn目录上页下页结束概率统计教研室如意思是:当a意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当n(,)aa00,nnnaa00,n0nnaXPnnX1}{limaXPnn而aXnaXnaXnnlim目录上页下页结束概率统计教研室依概率收敛序列的性质:,),(),(,,连续在点又设函数设bayxgbYaXPnPn).,(),(bagYXgPnn则目录上页下页结束概率统计教研室三、基本定理定理5.2的推论切比雪夫大数定律切比雪夫定理的特殊情况有数则对于任意正的算术平均个随机变量作前和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量,1),,2,1()(,)(,,,,,1221nkkkknXnXnkXDXEXXX.11lim}|{|lim1nkknnXnPXP目录上页下页结束概率统计教研室证明)(1111nkknkkXEnXnE,1nn)(11121nkknkkXDnXnD,1222nnn由契比雪夫不等式可得,11221nXnPnkk取极限并由夹逼定理得：11lim1nknkPXn目录上页下页结束概率统计教研室定理表明：在一定条件下，n个随机变量的算术平均依概率收敛于常数，即当n充分大时它几乎为常数。关于定理的说明:,)()()(1,,,,21121knkknXEXEXEXnXXXn接近于数学期望均的算术平随机变量很大时当（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.目录上页下页结束概率统计教研室.,1),,2,1()(,)(,,,,,1221PnkkkknXXnXkXDXEXXX即依概率收敛于则序列和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量定理的另一种叙述:切比雪夫大数定律的一个推论通常称为贝努里大数定律.目录上页下页结束概率统计教研室.0lim1lim,0,,pnnPpnnPApAnnAnAnA或有则对于任意正数率在每次试验中发生的概是事件的次数发生次独立重复试验中事件是设证明引入随机变量.,2,1,,1,,0kAkAkXk发生次试验中若在第不发生次试验中若在第定理5.4伯努利大数定律目录上页下页结束概率统计教研室,21nAXXXn显然是相互独立的，因为,,,,21nXXX,)10(分布为参数的服从以且pXk.,2,1),1()(,)(kppXDpXEkk所以根据定理5.2有,1)(1lim21pXXXnPnn.1limpnnPAn即目录上页下页结束概率统计教研室关于伯努利大数定律的说明:.,表达了频率的稳定性它以严格的数学形式率收敛于事件的概率依概生的频率伯努利定理表明事件发pnnA故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.pnnA目录上页下页结束概率统计教研室),,2,1()(,,,,,,21kXEXXXkn且具有数学期望服从同一分布相互独立设随机变量.11lim,1nkknXnP有则对于任意正数关于辛钦定理的说明:(1)与定理一相比,不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.定理5.3辛钦大数定律(3)辛钦定理是第7章点估计中矩估计的重要依据.目录上页下页结束概率统计教研室四、小结三个大数定理契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.目录上页下页结束概率统计教研室练习1：已知随机变量X、Y的数学期望为分别为2和-2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，,求概率+6PXY.练习2：已知随机变量X的数学期望为E(X)=μ，方差2)(XD，当2和3时，试用切比雪夫不等式求概率XP的近似值.目录上页下页结束概率统计教研室解时当2412222XP时当3913322XP目录上页下页结束概率统计教研室【练习】设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且=k（i=1，2，…，n）存在，令（k1）,则证：因为X1，X2，…，Xn独立同分布，所以独立同分布。又=k存在，由辛钦大数定律：)(kiXEnikikXnA11)(,nAkPkknkkXXX,...,,21)(kiXEkPnikikXnA11