凸函数的性质及其应用

编号学士学位论文凸函数的性质及其应用学生姓名：胡金学号：20080102014系部：数学系专业：数学与应用数学年级：08级指导教师：宋爱丽完成日期：2012年4月30日学士学位论文BACHELOR’STHESISI摘要凸函数是数学分析中的一个重要的概念，本文首先给出了凸函数的定义，然后给出了凸函数的几种性质及其等价性质，其次叙述凸函数常用的几种判别方法，最后给出凸函数在微分学，积分学，不等式证明及在高考数学中的应用。关键词：凸函数；定义；性质；判别；ThenatureoftheconvexfunctionanditsapplicationAbstractConvexfunctionisoneoftheimportantmathematicalanalysisoftheconcept,thispaperpresentsthedefinitionoftheconvexfunction,andthengivessomepropertiesofconvexfunctionanditsequivalentproperties,secondnarrativeconvexfunctionofseveralnormalidentifyingmethod,andfinallygivesconvexfunctionindifferentialcalculus,theintegralcalculus,inequalitycertificateandtheapplicationinmathematics.Keywords：convexfunction；definition；properties；discriminant.学士学位论文BACHELOR’STHESISII目录摘要.............................................................IABSTRACT.........................................................I引言.............................................................11.凸函数的等价刻划...............................................11.1凸函数的定义.......................................................................................................................11.2连续条件下凸函数的等价刻划............................................................................................41.3一阶导数存在下凸函数的等价刻划....................................................................................41.4二阶导数存在下凸函数的等价刻划....................................................................................61.5补充定理...............................................................................................................................62.凸函数的性质...................................................6性质2.1.......................................................................................................................................6性质2.2.......................................................................................................................................8性质2.3.......................................................................................................................................8性质2.4.....................................................................................................................................10性质2.5.....................................................................................................................................103.凸函数的应用.................................................123.1在微分学中的应用..............................................................................................................123.2凸函数的积分性质..............................................................................................................143.3利用凸函数的性质证明不等式..........................................................................................173.4用凸函数的性质分析高考题..............................................................................................21参考文献........................................................24结束语..........................................................25致谢............................................................25学士学位论文BACHELOR’STHESIS1引言凸函数是一类重要的函数，它的的概念最早见于jensen[1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。对于凸函数的研究，在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的证明推导方面，凸函数起着十分重要的作用凸函数有其良好而独特的性质，由于凸函数理论的广泛性及其在数学各个领域都有广泛的应用，因此还应该对凸函数的理论作进一步的探讨，本文在已有的研究基础之上，总结了凸函数常用的定义及其等价关系，而后给出其一些很好的性质，利用这些性质将有助于我们解决许多不等式问题，在本文的第三部分将会详述。1.凸函数的等价刻划1.1凸函数的定义定义1设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)xxI,有1212[(1)]()(1)()fxxfxfx上式中“”改成“”则是严格凸函数的定义.（1905年丹麦数学家jensen首次给出如下定义）定义2：设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当:12,,xxI有1212()().22xxfxfxf定义3设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当：学士学位论文BACHELOR’STHESIS21,2,...,nxxxI,有1212......()()......().nnxxxfxfxfxfnn引理1定义2与定义3等价。证明定义3定义2只需取2n即可，定义2定义3用数学归纳法（1）由定义2，2n时定义3显然成立，而4n时，1234,,,xxxxI，有：3412341212342222422xxxxxxxxffxxxxff1234()()()()4fxfxfxfx即对于4n也成立，对于任意自然数n，将定义2中式子应用到n次，有：121222......()()......()22nnnnxxxfxfxfxf，即定义3对于2nk成立（2）设当1kn时，定义3中式子成立即121121......()()......()11nnxxxfxfxfxfnn，令12......nxxxAn，则12......nxxxnA，则12......1nxxxAAn，由于定义3中式子对于1kn成立，故1212...()()...()()()()11nnxxxAfxfxfxfAfAfnn不等式两端同乘1n，再减去()fA，再除以n，得到：1212...()()...()()nnxxxfxfxfxfnn，则定义3中式子对于一切自然数成立。引理2若()fx连续,则定义1，2，3等价证明（1）定义1定义2，在定义1中令12，可得：12121212()()()(1)()(1)()22xxfxfxffxxfxfx12,xxI学士学位论文BACHELOR’STHESIS3（2）定义2定义112,xxI，(0,1)为任意实数.若为有理数，设mn（,,mnmn为自然数）121112221212()......(1)(1)mxnmxxxxxxxmmfxtxfxxffnnnn11221212()...()()...()()(1)()()(1)()fxfxfxfxmmfxfxfxfxnnn若(0,1)为无理数，则存在有理数列(0,1)n，使limnn，由()fx的连续性121212(1)lim(1)lim(1)nnnnnnfxxfxxfxx1212lim()(1)()()(1)()nnnnfxfxfxfx即定义1中式子对任意(0,1)成立。由引理1可知定义2与定义3等价，故定义1、2、3等价。事实上函数()fx如果为凸函数我们可以断定此函数一定连续，下面我们给出一定理对此进行阐释。定理1若函数()fx在I上有定义且是凸的，则函数()fx是I上的连续函数。证明：在区间I上任取一点0x，总