第6章电容元件与电感元件

第六章电容元件与电感元件§6-1~2电容元件及其VCR§6-4电容的储能§6-3电容电压的连续和记忆性质§6-5~6电感元件及其VCR第二篇动态电路的时域分析§6-7电容与电感的对偶性状态变量§6-8电容、电感的串、并联第6章电容元件与电感元件本章内容概述1.动态元件：电容、电感元件。含有一个独立的动态元件的电路称为一阶电路；含有两个独立的动态元件的电路称为二阶电路。2.动态电路是“有记忆”的电路：响应不仅与现在的激励有关，还与过去的响应有关。3.KCL、KVL仍是分析电路的基本依据。4.以下三章讨论动态电路的时域响应，本章介绍动态元件的VCR、等效电路、状态等概念。5.状态量：电容电压uC、电感电流iL。第6章电容元件与电感元件§6-1电容元件1.电容器：能聚集电荷，存储电场能的器件。2.电容元件：理想电容，是实际电容器的理想化模型。i(t)C+u(t)-电容符号q(t)理想电容只存储电场能量，本身无能量损耗。3.实际电容器：其介质不能做到完全绝缘，故有一定程度的漏电。等效电路为：C与R并联。实际电容器CR4.电容器的参数：（1）电容量C（2）额定电压6-1第6章电容元件与电感元件6-线性时不变电容:其特性曲线是一条过原点的直线，且不随时间而改变。q(t)=Cu(t)电容)()(tutqC单位：法拉(F)微法(F)5.特性曲线：在任一时刻，电容贮存的电荷q与其端电压u的关系，由q–u平面上的一条曲线所决定。电容元件是电荷与电压相约束的元件。uq线性时不变电容uq非线性电容7.电荷与电压的约束关系6-1第6章电容元件与电感元件1.微分关系关联参考方向非关联参考方向tuCtCutqtidddddd)(tuCtidd)(tuCtidd)((1)i(t)与u(t)的变化率成正比，而与u(t)的数值无关。(2)i(t)为有限值，则为有限值，即u(t)不能跃变。tuddtuddi(t)C–u(t)+非关联参考方向注意：§6-2电容的VCRi(t)C+u(t)–关联参考方向6-2第6章电容元件与电感元件在特殊情况下，u(t)可以跃变，此时理想电压源需要提供无限大的电流。(1)i(t)与u(t)的变化率成正比，而与u(t)的数值无关。(2)i(t)为有限值，则为有限值，即u(t)不能跃变。tuddtudd注意：+US–UC(t)C+–K在开关K闭合的瞬间，由KVL，uC(t)跃变为US。条件是：理想电压源应提供无穷大的电流，即具有无穷大的功率，这是实际电源达不到的。6-2第6章电容元件与电感元件2.积分关系u(t0)—电容电压初始值电容电压u(t)取决于从-到t所有时刻的电流值。u(t)具有“记忆”电流的作用，C为“记忆”元件，又称惯性元件。tuCtidd)(tiCtud)(1)(tttiCiCtu00d)(1d)(1)(ttiCtutu0d)(1)()(0tiCutu0d)(1)0()(由有若t0=0，则有i(t)C+u(t)–关联参考方向6-2第6章电容元件与电感元件§6-3电容电压的连续性质和记忆性质电容电压u(t)的连续性质表述如下：1002i/mA–5t(s)482002u/Vt(s)48ttiCtutu0d)(1)()(01.电容电压的连续性质当电容电流i(t)不连续时，电容电压u(t)是连续的。当电容电流i(t)在闭区间[ta,tb]内为有界的，则电容电压u(t)在开区间(ta,tb)内为连续的。特别是，对任意时刻t，且tattb，有uC(t-)=uC(t+)文字表述为：电容电压uC不能跃变。6-3第6章电容元件与电感元件2.电容电压的记忆性质tiCtud)(1)(由可知：电容电压的大小取决于电容电流的全部历史，所以说电容电压具有“记忆”电流的性质。ttiCtutu0d)(1)()(0关系式是更具有实际意义的、反映电容电压“记忆”性质关系式。在分析t≥t0、含电容元件的动态电路时，电容电压初始值是一个必备的条件，即必须考虑u(t0)对电路响应的影响，因此，这是一个非常重要的概念。6-3第6章电容元件与电感元件tttiCiCtu00d)(1d)(1)(ttiCtutu0d)(1)()(03.电容初始电压uC(t0)的等效电路)(10tuUt≥t0uC(t0)=U0C+uC(t)–N+u1(t)–u1(t0)=0C+uC(t)–N+U0–结论：可将具有初始电压uC(t0)=U0的电容等效为一个未充电的电容与电压源U0的串联。6-3注意U0的方向第6章电容元件与电感元件§6-4电容的储能1.电容的功率采用关联参考方向时：p0电容消耗或吸收功率；p0电容提供或释放功率。2.电容的储能瞬时功率p(t)=u(t)i(t)twtpdd)(d)()(d)(),(212121Ciupttwtttt可得电容在(t1,t2)区间内的储能为由)()(2121dddd)(tututtuuCuCu)()(212112222tutuCuCtuCtidd)(代入在t1~t2期间电容的净储能6-4第6章电容元件与电感元件（1）电容储能与该时刻的电压值有关，而与电流无关；（2）电容的储能本质，使电容电压具有记忆性质；（3）电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变的实质，即电容电流在有界条件下电容电压具有连续性质。)(21)(2122uCtuC结论d)()(Ctptw0)(21)(2CuCw)(21)(2tuCtwu2(t)—故将uC称为电路的状态变量6-4第6章电容元件与电感元件例电容与电压源u(t)相连接的电路如图(a)，u(t)的波形为三角波如图(b)所示。求电容的电流、功率和储能随时间变化的波形。+u(t)–C1FiC(t)图(a)10000.511.5t/msu/V-100图(b)tuCtidd)((1)由解在0.25~0.75ms期间，u(t)的变化率为常数，故i(t)为方波可求得i(t)波形的幅值A4.0105.020010dd)(36tuCti同理，在0.75~1.25ms期间，i(t)=0.4A6-4第6章电容元件与电感元件解i(t)=0.4A(0.75ms,1.25ms)i(t)=0.4A(0.25ms,0.75ms)(1)i(t)的波形为方波，幅值为p(t)=u(t)i(t)(2)由可知wC(t)的波形为抛物线，其幅值为5mJ。(3)由)(21)(2CtuCtw可知pC(t)的波形为锯齿波，其幅值为40W。画出电容的电流、功率和储能的波形如图(c)、(d)、(e)所示。10000.511.5t/msu/V100(b)0.40iC(A)0.40.511.5t/ms(c)40400pC/w0.511.5t/ms(d)5wC(mJ)00.511.5t/ms(e)6-4第6章电容元件与电感元件§6-5电感元件1.电感器：用导线绕制的线圈，存储磁场能的器件。2.电感元件：理想电感，是实际电感线圈的理想化模型。理想电感只存储磁场能量，无能量损耗。3.实际电感线圈：其导线具有电阻，故有一定程度的能量消耗，其等效电路为：L与R串联。4.电感线圈的参数：（1）电感量C（2）额定电流实际电感线圈LRi(t)+u(t)-电感符号(t)L6-5第6章电容元件与电感元件6-线性时不变电感：其特性曲线是过原点的直线，且不随时间而改变。电感)()(titL单位：亨利(H)毫亨(mH)5.特性曲线：在任一时刻，磁链与流过电感的电流i之间的关系，由–i平面上的一条曲线所决定。电感是磁链与电流相约束的元件。i线性时不变电感i非线性电感7.磁链与电流的约束关系(t)=Li(t)6-5第6章电容元件与电感元件1.微分关系关联参考方向非关联参考方向tiLtLittudddddd)(tiLtudd)(tiLtudd)((1)u(t)与i(t)的变化率成正比，而与i(t)的数值无关。(2)u(t)为有限值，则为有限值，即i(t)不能跃变。tiddtidd注意：§6-6电感的VCR+u(t)-关联参考方向i(t)L-u(t)+非关联参考方向i(t)L6-6第6章电容元件与电感元件2.积分关系i(t0)—电感电流初始值若t0=0，则有电感电流i(t)取决于从-到t所有时刻的电压值。i(t)具有“记忆”电压的作用，L为“记忆”元件，也称惯性元件。LtuLtit)(d)(1)(tttuLuLti00d)(1d)(1)(ttuLtiti0d)(1)()(0由有tiLtudd)(tuLiti0d)(1)0()(+u(t)-关联参考方向i(t)L6-6第6章电容元件与电感元件3.u、i与e关联参考方向的含义tiLtudd)(的使用条件：必须采用关联参考方向。表达式tiLttedddd)(而楞次定律有u(t)与i(t)的方向一致，e(t)与i(t)的方向也一致，且u(t)与e(t)在数值上相等，故有u(t)=-e(t)关联参考方向-e(t)++u(t)-i(t)L6-6第6章电容元件与电感元件§6-7电容与电感的对偶性状态变量tiLtudd)(tuCtidd)(电感的VCR电容的VCR对比以上两式可发现：将u、i互换；C、L互换，即可由电容的VCR得电感的VCR，反之亦然。因此称电容与电感为一对对偶量；同理，电荷与磁链也是一对对偶量。1.电容与电感的对偶性6-7第6章电容元件与电感元件1.电容与电感的对偶性由L与C的对偶性，可得电感电流的连续性和记忆性：电感电流不能跃变。iL(t-)=iL(t+)ttuLtiti0d)(1)()(L0LL)(10tiIt≥t0结论：可将具有初始电流iL(t0)=I0的电感等效为一个初始电流为零的电感与电流源I0的并联。iL(t0)=I0L+u(t)-NiL(t)i1(t0)=0L+u(t)-NiL(t)I0i1(t)注意I0的方向6-7第6章电容元件与电感元件由L与C的对偶性，可得电感的储能：1.电容与电感的对偶性)(21)(2LLtiLtwi2(t)—将iL称为电路的状态变量2.状态变量的概念电感电流的连续性和记忆性质是电感储能的体现。在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量若已知它们在t0时刻的数值（即初始状态），连同电路在t≥t0时的输入，即可确定t≥t0时电路的任意变量的数值（即电路响应）。电路的状态变量uC(t)、iL(t)。6-7第6章电容元件与电感元件§6-8电容、电感的串、并联将n个电容串联或并联，可等效成一个电容：C—串联L—串联L=L1+L2+∙∙∙+LnC—并联C=C1+C2+∙∙∙+CnL—并联nCCCC111121nLLLL111121将n个电感串联或并联，可等效成一个电感：类似于电阻串联类似于电阻串联类似于电阻并联类似于电阻并联6-8第六章小结电容元件电感元件q(t)=CuC(t)(t)=LiL(t)pC(t)=uC(t)iC(t)pL(t)=uL(t)iL(t)电流为有限值时,电压不能跃变电压为有限值时,电流不能跃变tiLuddLLtuCiddCCttuLtiti0d)(1)()(L0LLttiCtutu0d)(1)()(C0CC)(21)(2LLtiLtw)(21)(2CCtuCtw+uL-iLLiCC+uC-第6章电容元件与电感元件第六章习题要求：做每一题时：1.画电路图；2.写清分析过程。6-2，6-5，6-11，6-13