n阶线性微分方程的概念

第四节高阶线性微分方程小结练习题线性齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构常数变易法Euler公式形如()()()ypxyqxyfx)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.0)(xf一、线性齐次方程解的结构（一）n阶线性微分方程的概念微分方程称为它为n阶线性微分方程，简称n阶线性方程我们以二阶为例进行讨论当])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕（二）、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是线性齐次方程()()0ypxyqxy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.思考：一般的n阶线性微分方程是否也有叠加原理说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,若存在不全为0的常数12,,,,nkkk使得1122()()()0,nnkyxkyxkyxxI则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例221,cos,sinxx在(,)上都有221cossin0xx故它们在任何区间I上都线性相关;又21,,,xx若在某区间I上21230,kkxkx则根据二次多项式至多只有两个零点,可见123,,kkk必需全为0,故21,,xx在任何区间I上都线性无关.两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:中有一个恒为0,则12(),()yxyx线性相关12()()yxyx常数12(),()yxyx线性无关)()(21xyxy常数例12当时，1122()xxxeee常数故12,ee线性无关12(),()yxyx若12(),()yxyx线性相关事实上不妨设1()0,yx则12()0.()yxyx或12()0()0yxyx由定义可得其相关性。定理2.例21tanyxy12(),()yxyx若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy12(,)CC为意常数任是该方程的通解.方程0yy1cos,yx有特解2sin,yx且常数,即解1cos,yx2sin,yx线性无关，12cossinyCxCx故方程的通解为定理2*.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为注：n阶齐次线性方程的解构成n维向量空间12,,,nyyy若()(1)11()()()0nnnnyaxyaxyaxy11()nnkyCyCyC为任意常数二、线性非齐次方程解的结构12(),()yxyx是二阶非齐次方程的两个特解,定理3.则证:设命题成立.思考：定理对n阶线性微分方程是否也成立？()()()yPxyQxyfx12()()yyxyx是齐次方程()()0yPxyQxy解。121212()()()()()()()()yxyxPxyxyxQxyxyx111222()()()()()()()()()()yxPxyxQxyxyxPxyxQxyxfxfx0)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理4.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①()()()yPxyQxyfx)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例证毕因而②也是通解.方程yyx有特解对应齐次方程0yy有通解xCxCYsincos21因此该方程的通解为12cossinyCxCxx定理4*.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解()(1)1()()()nnnyaxyaxyfx12(),(),,()nyxyxyx设*()yx1122()()()*()nnyCyxCyxCyxyx常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB1122123()(1);CCyCyCCyD例3.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三定理5分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)注定理5均可推广到n阶线性非齐次方程.()(1,2,,)kyxkn设1nkkyy则例22112xyxxe2xxe是线性非齐次方程256xyyyxe一个特解；216xye是线性非齐次方程562xyyye一个特解，则y2212xxxe16xe是线性非齐次方程56yyy2xe一个特解。定理6.是方程的特解,则1212()()()()yPxyPxyQxiQx的特解.是121()()()yPxyPxyQx的特解.是122()()()yPxyPxyQx其中1212(),(),(),()PxPxQxQx是实值函数*12()()()yxyxiyx设1()yx2()yx例是方程92cos32sin3yyxix的特解,则*11()sin3cos333yxxxixx1sin33xx是方程92cos3yyx的特解。1cos33xx是方程92sin3yyx的特解。*三、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCyxxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy代入原方程确定).(xu对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设③的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv③))(),((21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④)(xu2211vyvyy2211vyvy⑤,,21vvy中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy将以上结果代入方程:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy得)(2211xfvyvy⑥故⑤,⑥的系数行列式02121yyyyW21,yy是对应齐次方程的解,,21线性无关因yy)()()(xfyxQyxPyfyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入③即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得说明:将③的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.例5.0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY的通解.解:将所给方程化为:1111xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用⑤,⑥建立方程组:021vevxx121xvevx,,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx情形2.).(1xy仅知③的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy令代入③化简得uyPyuy)2(111uyQyPy)(111fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy例6.42)()2(xyyxxyx求方程的通解.解:对应齐次方程为0)()2(2yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy令,)(xuxy代入非齐次方程后化简得xuu此题不需再作变换.特征根:,1,0rr设⑦的特解为)(BAxxu于是得⑦的通解:)(22121xxeCCux故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)⑦代入⑦可得:1,21BA)(232121xxexCxCuxyx,i其中,为实数四Euler公式复值函数xe在常系数线性方程起着重要作用，Euler公式cossineiieecossineie特别地cossiniei例23ie2cos3sin3ei22cos3sin3eie()cossinixxeexix其中x为实数容易验证复值函数有性质ddxexxe12ee12edxex1xeC谢谢观看！