1.3空间几何体的表面积与体积

(1)矩形面积公式：__________。(2)三角形面积公式：_________。正三角形面积公式：_______。(3)圆面积公式：_________。(4)圆周长公式：_________。(5)扇形面积公式：___________________________。(6)梯形面积公式：______________。Sab12Sah234Sa2Sr2Cr1()2Sabh为扇形圆心角）(21rπ360θ2rlS面积:__________________________________________。平面图形所占平面的大小。注：扇形面积公式可以类比到三角形面积公式：_______。12Sah所谓表面积，是指几何体表面的面积，也即是立体图形的所能触摸到的面积之和。怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.表面积=侧面积+底面积如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？侧面展开图的构成几何体的侧面展开图一组平行四边形一组梯形一组三角形2底面积+侧面积几何体表面积底面积+侧面积上底面积+下底面积+侧面积注意：将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。例1、（课本P24）已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．D分析：四面体有四个面，由四个全等的正三角形组成。因为SB=a，aSBSD2360sin所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作SBCBCSDBCASa23a例2、下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积。661010810解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形正视图侧视图俯视图直观图cmS17226-10822侧高21764217210644cmSS梯侧底侧表SSS101066176421361764cm旋转体的表面积lrS2侧)(22lrrSSS侧底圆柱1、圆柱一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积.2rS底圆柱的侧面展开图是一个矩形底面是圆形rllrS221侧)(lrrSSS侧底圆柱2、圆锥2rS底侧面展开图是一个扇形：底面是圆形：3、圆台底面是圆形：侧面展开图是一个扇状环形：)(22rllrrrSSSS侧下底上底圆台2rS上底2rS下底扇环面积公式可以类比到梯形面积公式：1()2SabhlrrS）侧22(21lrr)(xrπxlr221)(221S圆台侧])([xrrrlπ,lxxrrrrlrx⑴代入⑴，得lrrrrlrrrrlS)])([（圆台侧rrlrπ2r2x圆台侧面积公式的推导圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？rr0r)(22rllrrrS圆台：圆柱：)(2lrrS)(lrrS圆锥：1、一个圆柱形锅炉的底面半径为1米,侧面展开图为正方形，则它的表面积为多少？2、以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为多少？3、圆台的上、下底面半径分别是5cm和10cm，母线长为10cm，则侧面展开图扇环的圆心角为多少？rrlrπ2r2x4、课本P27练习2空间几何体的体积体积:几何体所占空间的大小。1、棱柱和圆柱的体积柱体的体积公式：V=Sh底面积S高h2、棱锥和圆锥的体积ABCDEOS底面积S高hShV31锥体的体积公式：3、棱台和圆台的体积hSSSSV)(31台体的体积公式：高h柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShV0SS、S’分别为上、下底面面积，h为台体高ShV31SSS为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小?)14.3(,10,10,12,,8.5)()/8.7(33取大约有多少个问这堆螺帽高为内孔直径边长为已知底面是正六边形共重如下图六角螺帽铁的密度是有一堆规格相同的铁制例mmmmmmkgcmg课本P26课本P29习题1.3第4题解关于表面积、体积问题常用方法：（1）分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。（2）补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,（3）等积变换法：①相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变）.②等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。（4）计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．334RVOBA24RS设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式：R球的体积和表面积4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.2422:134:11.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.课堂练习7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.15,5,36.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.课堂练习943312解:设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.32，球334RV圆柱球所以，VV321)因为3222RRRV圆柱，球24RS圆柱侧球所以，SS2)因为2422RRRS圆柱侧(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体2215056cmS侧侧棱长为5cm例题讲解例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积和体积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。aRaaRDDBRt23,)2()2(:22211得中略解：ABCDD1C1B1A1O例题讲解222a32344）a（RS球33a23a2334V）（球例4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得：，中变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。2a22a关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.33:22:1作轴截面球面距离球面距离即球面上两点间的最短距离，是指经过这两点和球心的大圆的劣弧的长度.球心OAB大圆圆弧OAB大圆劣弧的圆心角为α弧度，半径为R，则弧长为L=αR球面距离例4.已知地球的半径为R,在地球的赤道上经度差为1200的两点间距离.oAB答案：321200Rd32球面距离为题型二旋转体的表面积及其体积如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.【例2】思维启迪解如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=,BC=R,∴S球=4πR2,R3,231RCO,π2311π23π23π4,π2323π,π23323π2222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO侧圆锥侧圆锥球几何体表侧圆锥侧圆锥.π23112R表面积为旋转所得到的几何体的解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算..π65π21π34)(π41π31π41π31,π34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又探究提高失误与防范1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.