多自由度的耦合振动

§1.4.3多自由度的耦合振动一、弱耦合的二振子系统(两个自由度)设：两个振子：；。两个振子之间：用软弹簧连接——实现两个振子的耦合：弱耦合又设：滑块1、滑块2的平衡位置为坐标原点，作两轴，则：势能为拉格朗日函数：由拉格朗日方程得到运动方程：设：解的形式为——两个滑块以同一频率振动221012022021()xxxkmmxxx1122Re[]Re[]ititxCexCe——关于的齐次方程组非零解条件：的两组解：(具体值由初始条件定)12,CC220220()0()2201222102()0()0CCCC22102012,CC(1)(1)(2)(2)1212CCCC矩阵形式的解：显然，它们是相互正交的，即归一化：令，有12,CC(1)(2)11(1)(1)(2)(2)11(1)(2)221111CCCCCCuu(1)1(1)(2)(2)(2)11(1)1[](,)0CCCCTuu(1)(2)1112CC(1)(2)11111122uu满足正交归一条件：耦合振子系统有两个振动频率：，与对应有两种确定的集体振动模式一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加：()()[]ababuuT21,21,1211221111ReRe1122ititxxeexx12121111Re[]Re[]1122ititxAeBex选新的广义坐标：，令则分别表示两种独立的集体振动模式。这样：从而得到新旧坐标之间的变换关系：21,QQ1212Re[]Re[]ititQAeQBe21,QQ112211111122xQQx11221211()()22xQQxQQ新坐标系下的拉格朗日函数：——耦合项消失(退耦)，此时相互耦合的二振子系统变成两个独立的振子系统。定义：为耦合振子系统的简正坐标。21,QQ222212121111(2)2222LmQmQkQkQ二、对称矩阵的本征值与本征矢为将二耦合振子系统推广到任意s个耦合振子系统，将前面关于的方程改写成矩阵形式：令则12,CC201122220CCCC2012220CCSUSUU一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。一般：对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量上，会改变它的大小和方向，即SU和U一般不平行。但：表明此式中的矢量U受到S的作用后，不改变方向，而只是乘上一个常数。定义：U——矩阵S的本征矢，——与本征矢U对应的本征值，——对称矩阵S的本征方程。22SUUSUU这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为求解矩阵S的本征值方程。将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量写成矩阵形式：于是的矩阵S的本征值方程为：112233uuuueee123uuuU33111213112122232233313233uuuuuu或写为如果，则称矩阵S为对称矩阵。对于对称矩阵有如下定理。定理一的对称矩阵S有3个独立的本征矢。与本征矢对应的本征值为实数。SUU(,1,2,3)ijjiij33证：可写为其中I为单位矩阵将写成矩阵形式SUU()0SUUSIU100010001I()0SUUSIU1112131212223233132330uuu上式是关于3个未知数的齐次方程组。非零解条件：由以上条件，可得的3个根。与每个根相对应，可得到一个解，这就是和本征值对应的本征矢。假定：S为实对称矩阵，即123,,uuu1112132122233132330(1,2,3)aa()()()123,,aaauuua**ijjiijji本征值方程又可写成取其复共轭将，并利用，得到：将上式左右两边同时乘以，并对j求和31(1,2,3)ijjijuui3****1(1,2,3)ijiijuuiij**ijjiijji3***1(1,2,3)ijijiuujju333***111iijjjjijjuuuu将本征值方程的左右两边同时乘以，并对i求和因此，即为实数。另外的例子见p69-70。333**111iijjiiijiuuuu*iu3333****1111iijjiijjijijuuuuuu*注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以将本征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上一个常数使得满足上式的矩阵形式其中是的转置矩阵。(1,2,3)iui3211iiu1UUUU定理二对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。证：和、对应的本征值方程分别为将上两式分别乘上和并对i求和：a()bab33()()()()11,aabbijjaiijjbijjuuuu()biu()aiu333()()()()111babaiijjaiiijiuuuu333()()()()111ababiijjbiiijiuuuu对上两式的第一式的左边交换求和指标，有又，所以即因，所以，即。ij333()()()()111babajjiiaiiijiuuuu**ijjiijji33()()()()11baabaiibiiiiuuuu3()()1()0ababiiiuuab3()()10abiiiuu()()abuu从定理一和定理二可知，的对称矩阵有三个独立本征矢，对应于三个本征值。如果这三个本征值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。用本征椭球的三个主轴(对称矩阵的三个本征矢)作为标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式330000000abcS当坐标系转动时，矢量变成，它的三个分量是的三个分量的线性组合上式的矩阵形式其中矩阵应满足一定的条件，以保证归一化的矢量在转动以后仍然归一化，即有由的任意性，有或U'U'('1,2,3)iuiU(1,2,3)iui3''1iiiiiuau'UAUA''IUUUAAUUUAAAI1AA满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物理量的矩阵是对称矩阵，即；而坐标转动矩阵则是正交矩阵，即。由于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵也发生变化。变化后的矩阵与的关系的推导：在原坐标系中，将S作用到另一矢量V，有：SU=V；坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即：由U的任意性，有。SSSA1AAS'SS'''SUV'SAUAVASU'SAAS而，所以。可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本征值和本征矢不变。注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变化，因而相应的椭球在空间中的位置和形状不变。1AA'SASA定理三如果对称矩阵S的两个本征值相等，则和它们对应的本征矢和的线性组合也是S的对应于同一个本征值的本征矢。证：本征值方程为将两式分别乘上和并相加，得abaubuabuu33()()()()11,aabbijjiijjijjuuuu3()()()()1()()ababijjjiijuuuu上式表明：也是S的对应于同一个本征值的本征矢。两个独立矢量和的线性组合形成一个平面。因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互abuuaubu垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个对称矩阵S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量沿这三个方向时，S作用到矢量上不改变它的方向。推广：s维矢量的定义。定义一一组s个实数称为s维空间中的矢量。每个称为这一矢量的分量。定义二两个矢量的对应分量相乘并求和称为它们的标积。33uu(1,2,)iuisiu1siiiuv定义三如果两个矢量的对应分量成正比就称它们相互平行。定义四如果两个矢量的标积等于零就称它们相互正交。矩阵的本征值方程成为或者iiucv1siiiuv111111ssssssuuuu1(1,2,)sijjijuuis定理四的对称矩阵S有s个独立的本征矢。对应的本征值为实数。当这s个本征值各不相等时，对应的s个本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组s个正交归一的s维矢量。当在s个本征值中有m个本征值相等时，对应的m个独立本征矢的线性组合形成一个m维线性子空间(m维“平面”)，其中的任意矢量都是对称矩阵S对应于这一本征值的本征矢。可以从中选出m个相互正交的矢量并加以归一化，成为这个m维线性子空间中的正交归一完备基。对于所有有相等ss(),1,2,(1,2,)aiuisas本征值的本征矢都这样处理以后，得到一组s个矢量，满足正交归一条件(),1,2,(1,2,)aiuisas()()1sabiiabiuu三、多自由度耦合振子的集体振动模式对两个自由度的二振子耦合振动系统，势能改写为：222212121211211221221,1111(,)()()2221(,)2Uxxkxkxxxkxxkxxkkkkk22'''''''''1'122'''''''''1'11[()]21[]2xxUkxkxxxxkxkx2222'''''1'1112111112222()kxkxkxkxkxkk推广到有s个自由度的一般情况，有因此对于有s个自由度的振动系统，拉格朗日函数为：2111122ssLmxkxx112sUkxx拉格朗日方程：又：运动方程：为了得到s个质点的集体振动模式，下面来求所有的以同一频率振动的解。1sLLUmxkxxxx10(1,2,)smxkxs(1,2,)ixis解的形式：代入运动方程得：——关于的s个线性齐次方程组Re[](1,2,)itxCes210(1,2,)smCkCs2,11()0(1,2,)ssmCkCs