高考数学基础与考点过关 第一章 集合与常用逻辑用语

基础与考点过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～3页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．①学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中掌握集合的三要素.④不要求证明集合相等关系和包含关系．1.(必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为______________．答案：{1，2}解析：∵x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2.(必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是______________．答案：0和1解析：由x2＝x可解得x＝0或x＝1.3.(必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x3且x∈N}的真子集个数是__________．答案：7解析：A＝{x|0≤x3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个．4.(必修1P10练习6改编)设A＝{x|2x3}，B＝{x|xm}．若A⊆B，则m的取值范围是____________．答案：[3，＋∞)解析：A＝{x|2x3}，B＝{x|xm}，A⊆B，将集合A，B在数轴上表示(图略)，可得m≥3.5.(必修1P10习题5改编)A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为____________．答案：0或1解析：当k＝0时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k＝0，解得k＝1，此时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k＝0或k＝1.1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(1)若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关．(3)集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．(4)集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5)常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2.两类关系(1)元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2)集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．(3)简单关系①A⊆A；②∅⊆A；③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；④含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有0，n＝0，2n－2，n≥1个．[备课札记]1集合的基本概念1已知集合A含有两个元素a－3和2a－1.若－3∈A，试求实数a的值．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.变式训练已知集合A中有且仅有三个数1，0，a，若a2∈A，求a的值．解：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，∴a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a＝－1.2集合间的基本关系2已知A＝{－1，1}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}≠∅.若B⊆A，求实数a，b的值．解：∵B⊆A，A＝{－1，1}，B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1，1}．若B＝{－1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b＝0，此时a＝－2，b＝1.若B＝{1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且12－a×1＋b＝0，此时a＝2，b＝1.若B＝{－1，1}，则方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b＝0，12－a×1＋b＝0，此时a＝0，b＝－1.综上所述，当a＝－2，b＝1或a＝2，b＝1或a＝0，b＝－1时，B⊆A.,3)已知集合M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a为非零常数)．若M＝N，求q的值．解：由题意，若a＋d＝aq，a＋2d＝aq2，则a(q－1)2＝0，q＝1(a≠0)．然而q＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以a＋d＝aq2，a＋2d＝aq⇒a(q－1)(2q＋1)＝0.因为a≠0，q≠1，所以q＝－12.故所求q的值为－12.变式训练已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求m的取值范围．解：当m＋12m－1，即m2时，B＝∅，满足B⊆A，即m2；当m＋1＝2m－1，即m＝2时，B＝{3}，满足B⊆A，即m＝2；当m＋12m－1，即m2时，由B⊆A，得m＋1≥－2，2m－1≤5，即2m≤3.综上，得m≤3.备选变式（教师专享）一个含有三个实数的集合可表示为a，1，ba，也可表示为{a＋b，0，a2}，则a2018＋b2018＝________．答案：1解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，并且集合还需满足确定性、互异性、无序性，所以ba＝0，得b＝0，此时{a，1，0}＝{a，0，a2}，即a2＝1，a≠1，故a＝－1，所以a2018＋b2018＝1.,3根据集合的关系求参数的取值范围),4)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．解：B⊆A可分为BA和B＝A两种情况，易知A＝{0，－4}．(1)当A＝B＝{0，－4}时，∵0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴16－8（a＋1）＋a2－1＝0，a2－1＝0，∴a＝1.(2)当BA时，有B≠∅或B＝∅.①当B≠∅时，B＝{0}或B＝{－4}，∴方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，∴a＝－1，∴B＝{0}满足条件．②当B＝∅时，Δ0，∴a－1.综上，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.变式训练已知集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C⊆B，求正数a的取值范围．解：B＝{x|－1≤x≤2a＋3}，当0a≤2时，C＝{x|0≤x≤4}，而C⊆B，则2a＋3≥4，即a≥12，即12≤a≤2；当a2时，C＝{x|0≤x≤a2}，而C⊆B，则2a＋3≥a2，即2a≤3.综上，得12≤a≤3.备选变式（教师专享）设集合A＝{1，2，3，…，10}，求集合A的所有非空子集元素的和．解：含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，…，含有10的子集有29个，∴(1＋2＋3＋…＋10)×29＝28160.1.(2018·溧阳中学周练)已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．答案：6解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，这样的集合共有6个．2.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________________________________________________________________________．答案：2解析：直接解方程组可得两组解，即A∩B的元素个数为2.3.若x∈A，则1x∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，2}，－1，12，2.4.(2017·溧阳中学月考)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集至多有两个，则实数a的取值范围是________．答案：{0}∪98，＋∞解析：若集合A的子集只有两个，则A中只有一个元素．当a＝0时，x＝23符合要求．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝98.故a＝0或98.若集合A的子集只有一个，则A＝∅，∴Δ0，a≠0，解得a98，故实数a的取值范围是{0}∪98，＋∞.5.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．答案：4解析：用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．,1.遗忘空集致误)典例若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋1＝0}，且N⊆M，则由a的可取值组成的集合为________．易错分析：从集合的关系看，N⊆M，则N＝∅或N≠∅，易遗忘N＝∅的情况．解析：M＝{－3，2}．当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，为满足N⊆M可使－1a＝－3或－1a＝2，即a＝13或a＝－12.故所求集合为0，13，－12.答案：0，13，－12特别提醒：(1)根据集合间的关系求参数的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征；(2)在解答本题时，一是不要忽略对空集的讨论，如a＝0时，N＝∅；二是注意对字母的讨论，如－1a可以为－3或2.一定要注意分类讨论，避免漏解．1.(2018·溧阳中学期初)已知集合A＝{2＋a，a}，B＝{－1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是________．答