高考数学填空题的解题技巧

填空题的解法填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同，但均为必考题型．1．填空题的类型填空题主要考查基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结题型特点概述2．填空题的特征填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．3．解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结题型特点概述题型一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析【例1】在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．计算出基本量d，找到转折项即可．解析设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝59.∴数列{an}为递增数列．令an≤0，∴－3＋(n－1)·59≤0，∴n≤325，∵n∈N*.∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－293.本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值．－293第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析(2012·广东)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.解析设等差数列公差为d，则由a3＝a22－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，∴d2＝4，∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.2n－1第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析题型二特殊化法特殊化法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析【例2】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sinA－sinCa＋cb＝sinA－sinB，则C＝____________________.题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角C的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小．解析容易发现当△ABC是一个等边三角形时，满足sinA－sinCa＋cb＝sinA－sinB，而此时C＝60°，故角C的大小为60°.60°第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可用直接法求解如下：由sinA－sinCa＋cb＝sinA－sinB可得a－ca＋cb＝a－b，整理得，a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝60°.第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.解析方法一取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.方法二取特殊角A＝B＝C＝π3，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.45第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析【例3】如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.可以从三段圆弧的圆心构成一个等边三角形出发求解．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析解析(取特殊位置)由题意可知，三段圆弧的圆心可构成一个等边三角形，则∠O1O2O3＝∠O2O1O3＝∠O2O3O1＝60°，则易得三段圆弧所对的圆心角α1＝α2＝α3＝240°，∴cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝cosα1＋α2＋α33＝cos120°＝－12.答案－12特殊化是求解填空题的常用技巧之一，当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧．在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置、特殊点等)进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．解析令α＝0°，则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝32.32第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析题型三图象分析法(数形结合法)依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析【例4】已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|的值等于________．考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n和x轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解．解析如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA＝14，则xD＝74.又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝34，xC＝54.故|m－n|＝|14×74－34×54|＝12.12第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析因为定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.－8第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析题型四等价转化法将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析【例5】设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥03x＋4，x0，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．将问题转化为y＝m与y＝f(x)有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析解析本题可转化为直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点，y＝x2－4x＋6在[0，＋∞)的最小值为f(2)＝2，故2m4，易知x1，x2，x3中必有一负二正，不妨设x1，x20，由于y＝x2－4x＋6的对称轴为x＝2，则x1＋x2＝4，令3x＋4＝2，得x＝－23，则－23x30，故－23＋4x1＋x2＋x30＋4，即x1＋x2＋x3的取值范围是(103，4)．答案(103，4)第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标．本题转化的关键就是将研究x1＋x2＋x3的取值范围问题转化成了直线y＝m与曲线y＝f(x)有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质解决．第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析不论k为何实数，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．解析∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，不论k为何实数，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，∴a2＋1≤2a＋4，解得－1≤a≤3.∴实数a的取值范围是[－1,3]．[－1,3]第4讲本课栏目开关题型特点概述解题方法例析规律方法总结解题方法例析【例6】已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，则a的值为________．解析将ax－1x＋10转化为(x＋1)(ax－1)0，其解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，当且仅当x＝－12是方程ax－1＝0的解，