7第三章 控制系统的稳定性分析资料

1第三章控制系统的稳定性分析李玉庆飞行器动力学与控制研究所2第三章控制系统的稳定性分析3-1李亚普诺夫第二方法概述3-2李亚普诺夫意义下的稳定性3-3李亚普诺夫稳定性定理3-4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析3-5非线性系统的李亚普诺夫稳定性分析概述33-1李亚普诺夫第二方法概述稳定性是系统正常工作的前提4控制系统的稳定性，它表示系统能妥善地保持预定的工作状态，耐受各种不利因素的影响。线性定常系统描述系统动态特性的特征方程式的根都分布在根平面虚轴的左半部分。稳定性判据时变系统和非线性系统奈魁斯特稳定判据及劳斯稳定判据等19世纪末俄国数学家李亚普诺夫提出的稳定性理论当作分析系统稳定性的重要方法。李亚普诺夫方法分为李亚普诺夫第一法和第二法5李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法称为第一近似方法，是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。间接法对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化了的微分方程式来近似地加以描述。如果线性化特征方程式的根全都是负实数根，或者是具有负实部的复根，则该系统在工作点附近是稳定的，否则是不稳定的。6李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法称为直接法，基本思想是用能量变化的观点分析系统的稳定性。若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐减少，则系统就能稳定；反之，若系统在运动过程中，不断地从外界吸收能量，使其储能越来越大，系统就不能稳定。不必求解微分方程给出的稳定性信息是准确的,而非近似的通用方法7二次型及其定号性12,,...,nxxx212111121211221122222221122(,,...,)............nnnnnnnnnnnnVxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxax1112112122221212......()[,,...,]...nnTnnnnnnaaaxaaaxVXxxxXPXaaaxn个变量的二次齐次多项式为：用矩阵表示为：必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性。二次型P常取对称矩阵80X()0VXX()0VX2212()VXxx2212()1VXxx()0VX2212()VXxx正定性时，才有对任意非零，恒有例如：负定性例如：当且仅当0X()0VXX时，才有对任意非零，恒有当且仅当9212()()VXxx212()()VXxx()VX()VX正半定性例如：负半定性例如：不定性可为正值也可为负值，则为不定。如果无论取多么小的零点的某个邻域，0X()0VX()0VX时，有当0X时，有当0X()0VX()0VX时，有当0X时，有当10()TVXXPXSylvester准则正定的充要条件是P的顺序主子行列式均为正；负定的充要条件是P的顺序主子行列式负正相间。1112112122221212......()[,,...,]...nnTnnnnnnaaaxaaaxVXxxxXPXaaax()TVXXPX113-2李亚普诺夫意义下的稳定性基本概念平衡状态：(,)0efxt如果对于所有的t总存在着(,)0efxt则称为系统的平衡状态。ex，若A非奇异，则原点是系统唯一对线性定常系统(,)fxtAx的平衡状态，若A为奇异的,则系统有无穷多平衡状态对非线性系统，可能有一个或多个平和状态任何孤立平衡点,都可通过坐标变换,将其移动到坐标原点12称为向量的欧氏范数稳定与一致稳定欧氏范数设系统(,)XfXt的平衡状态为eX，对0，若0(,)0t，使得当初始状态0X满足00(,)eXXt时，对由此出发的X的运动轨迹有00(;,)etXtX，0tt。则称系统的平衡状态eX是李亚普诺夫意义下稳定的。如果选取与初始时刻0t无关，则称平衡状态eX是一致稳定的。131.的选取与0,t有关，大，相当于限制较松，也可以取大；小，相当于限制较严，相应的就得取小些；2.00(;,)tXt是00,,tXt的一个函数，表示从0t时刻0X点出发的系统的运动轨迹；3.李亚普诺夫意义下的稳定，对应于古典控制论中的临界稳定；4.一致稳定好于稳定，因为它意味着任意时刻出发的受扰运动都是李亚普诺夫意义下稳定的。几点说明14渐近稳定与一致渐近稳定设系统(,)XfXt的平衡状态为eX，若eX是李亚普诺夫意义下稳定的，并且有00lim(;,)0ettXtX，则称系统的平衡状态eX是渐近稳定的。如果选取与初始时刻0t无关，则称平衡状态eX是一致渐近稳定的。15大范围渐近稳定渐近稳定性是系统的一个局部稳定性概念。如果对于状态空间中，初始状态0X是整个状态空间中的任何点，而从0()Xt出发的状态轨线()Xt有lim()etXtX则称0eX为李亚普诺夫意义下大范围渐近稳定或李亚普诺夫意义下全局渐近稳定。当大范围渐近稳定与初始时刻0t选择无关时，则称一致大范围渐近稳定。161.由大范围渐近稳定的定义可知，可任意选取初始点，系统都是渐近稳定的。即不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性；2.对于大范围渐近稳定的系统，其必要条件是整个状态空间中，只存在一个平衡状态；3.对于线性系统，若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。几点说明17不稳定若平衡状态eX既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当0tt并无限增大时，从0X出发的运动轨迹最终超越()S域，则称平衡状态eX为不稳定的。183-3李亚普诺夫稳定性定理相关分析方法古典控制论（劳斯判据）不能处理非线性、时变系统李亚普诺夫第一法（间接法、近似线性化法）能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题难以处理强非线性系统的稳定性问题,而且不易推广到时变系统李亚普诺夫第二法（直接法）对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用李雅普诺夫稳定性定理是该方法的重要组成部分李雅普诺夫稳定性定理的直观意义平衡态能量最小。若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其能量将随着时间推移而衰减，最终到达能量最小的平衡态。反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。h渐近稳定平衡态mgvfx若能找出一个广义能量函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统稳定性19定理3-1设系统状态方程为(,)XfXt式中0(0,)0()fttt，若能找到一个标量函数(,)VXt，它具有连续一阶偏导数，并且满足以下条件：1.(,)VXt是正定的；2.(,)VXt是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。若随着X，有(,)VXt，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。20例3.1设系统方程为22121122221212()()xxxxxxxxxx试确定其平衡状态的稳定性。21解：显然，原点（120,0xx）是系统唯一平衡状态，选取正定的标量函数()VX为2212()VXxx（有连续一阶偏导数，正定）则1122()22VXxxxx将系统方程代入上式得4412()2()VXxx（负定）根据定理3-1可知，系统在平衡状态是渐近稳定的。又随着X，有()VX，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。22定理中的稳定条件是充分条件，不是必要条件对V函数要求较为严格，后续几个定理放松了对V函数的要求如何选取V函数，后续课程讲授23定理3-2设系统状态方程为(,)XfXt式中0(0,)0()fttt，若存在一个标量函数(,)VXt，它具有连续一阶偏导数，并且满足以下条件：1.(,)VXt是正定的；2.(,)VXt是负半定的；3.对任意0t和0X，在0tt时(,)VXt不恒为零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。若随着X，有(,)VXt，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。24例3.2设系统方程为12212xxxxx试确定其平衡状态的稳定性。25解一：显然，原点（120,0xx）是系统唯一平衡状态，选取正定的标量函数()VX为2212()VXxx（有连续一阶偏导数，正定）则211222()222VXxxxxx对()VX进行分析可知：当120,0xx时，()0VX；当120,0xx时，()0VX；因此()VX是负半定的。进一步分析()VX的定号性可知，当120,0xx时，()VX不会恒等于零。则根据定理3-2，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的，又随着X有()VX，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。26解二：选取正定的标量函数()VX为22212121()[()2]2VXxxxx（有连续一阶偏导数，正定）则2212()()VXxx（负定）根据定理3-1可知，系统在平衡状态是渐近稳定的。又随着X，有()VX，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。27定理3-3设系统状态方程为(,)XfXt式中0(0,)0()fttt，若存在一个标量函数(,)VXt，它具有连续一阶偏导数，并且满足以下条件：1.(,)VXt是正定的；2.(,)VXt是负半定的，但在某一X值恒为零（0X）。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的，但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。28例3.3设系统方程为1221xKxxx试确定系统平衡状态的稳定性。29解：显然，原点（120,0xx）是系统平衡状态，选取正定的标量函数()VX为2212()VXxKx（有连续一阶偏导数，正定）则11221212()22220VXxxKxxKxxKxx由上式可见，()VX在任意X值上均可保持为零，根据定理3-3，系统在李亚普诺夫意义下是稳定的，但不是渐近稳定的。30定理3-4设系统状态方程为(,)XfXt式中0(0,)0()fttt，若存在一个标量函数(,)VXt，它具有连续一阶偏导数，并且满足以下条件：1.(,)VXt在原点的某一邻域内是正定的；2.(,)VXt在同一邻域内是正定的。则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。31例3.4设系统方程为21122212sincosttxxtxexxext试确定系统平衡状态的稳定性。32解：显然，原点（120,0xx）是系统平衡状态，选取正定的标量函数()VX为12(,)2tVXtexx（有连续一阶偏导数，正定）则(,)VXt为一变量函数，其在12xx平面内的一、三象限为正定的，即()0VX。而在此区域内，有121212221212122212(,)22()22()22()ttttVXtexxexxxxexxxxexxxx即当(,)0VXt时，(,)0VXt。根据定理3-4，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。33几点说明：1.利用李亚普诺夫稳定性理论进行分析的关键是寻找合适的(,)VXt但定理并没有提供构造(,)VXt的方法，对线性系统，可利用二次型函数构造，下节课讲授；2.(,)VXt的选取可能不唯一。对不同的(,)VXt，可能有不同的效果；3.若系统是稳定的（或是渐近稳定的），则满足条件的(,)VXt一定存在，尽管可能很难找；4.对一个给定的(,)VXt，定理的稳定条件是充分条件，非必要条件；5.第二法能给出一个稳定范围，但是注意：某个稳定域外的运动，未必不稳定，因通过选取更适当的(,)VXt，可能确定更大的稳定范围；6.若找不到合适的(,)VXt，则不能给出有关稳定性的任何结论。