2017-2018学年北师大版八年级数学上册课件：平行线的证明

第七章平行线的证明1为什么要证明证明的必要性内容证明的必要性在数学上，仅通过对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证在一般情况下都成立.所以凭经验、观察、猜想甚至实验得到的数学结论不一定正确，在数学上要判断一个结论是否正确，需要进行有根有据的推理内容知识解读要想进行有根有据的推理，需要熟练掌握学过的各种定义、定理、公式，还要掌握一些生活常识，并且学会一些逻辑推理的方法.要逐渐培养、提高探究数学规律（如数字规律、图形规律、式子规律等）的能力，能通过特殊例子归纳出一般的结论，并会运用注意：判断结论对与否，不能仅凭眼观察，也不可以想当然.解：不同意.理由如下：当x=1，2，3，4时，.但当x=-1时，.所以并非任意实数x，都能使代数式的值小于0.所以正确的说法为对于任意实数x，代数式的值都不大于0.例1当x=1，2，3，4时，代数式的值都小于0，李明说：“对于任意实数x，代数式的值都小于0.”你同意李明的说法吗？为什么？()()22221211xxxxx2(1)0x()()222211110xxx221xx221xx221xx221xx要说明一个结论是否正确，仅靠验算是不够的，需要进行有根有据的推理，利用我们已学过的数学知识，可以判断一部分数学结论是否正确.检验数学结论的常用方法内容检验数学结论的常用方法（1）实验验证：它是检验一个数学结论是否正确的最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；（2）举反例：它常用来说明该数学结论不成立；内容检验数学结论的常用方法（3）推理论证：它是最可靠、最科学的方法.检验数学结论的具体过程是：观察→测量→实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论知识解读要说明一个数学结论是正确的，需要推理论证，但要说明一个数学结论是不成立的，只需举一个反例即可内容注意：举反例要举出“符合条件，但不符合结论”的例子，不要举出符合结论却不符合条件的例子，也不要举出条件、结论都不符合的例子.例2判断下列结论是否正确，如果不正确，请举出一个反例.（1）若|a|=|b|，则a=b；（2）如果ab＞0，那么a，b都是正数.解：（1）不正确.反例：|-10|=|10|，但-10≠10.（2）不正确.反例：(-2)×(-3)=60，但-2，-3都不是正数.举反例是说明某个数学结论错误的常用方法.不经论证，仅靠视觉猜测得出错误结论例3如图7-1-1（1）中的四边形的对边是平行的吗？图7-1-1（2）中的每一对横线呢？请你先观察，再判断，然后利用直尺验证你的结论是否正确.（1）（2）图7-1-1解：图7-1-1（1）中的四边形的对边是平行的.图7-1-1（2）中的每一对横线都是平行的.仅靠观察直觉得出的结论未必正确，在本题的两个图形中，看上去都不平行，但通过测量可知是平行的.所以在判断一个数学结论是否正确时，必须进行有根有据的推理.题型一实践验证结论例4先观察，再验证：（1）图7-1-2（1）中的两条线段a与b哪一条更长？（2）图7-1-2（2）中的AB与CD平行吗？（1）（2）图7-1-2解：（1）a与b一样长.（2）AB与CD平行.分析：（1）用直尺量；（2）用三角尺平推.题型二从特殊到一般解决规律探究问题例5观察下列等式：12×231=132×21；13×341=143×31；23×352=253×32；34×473=374×43；62×286=682×26；……根据上述等式填空：（1）52×_____=____×25；（2）___×396=693×__.6327536572观察等号左右两边算式中的数字的位置特点总结算式中数字的变化规律，再根据得到的规律填空思路导图题型三推理在生活中的实际应用例6某商场失窃，大量的商品在一夜间被罪犯用汽车运走.甲、乙、丙三名嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总会有甲作从犯；（3）乙不会开车.在此案中，能肯定的作案对象是嫌疑犯（）A.乙B.丙C.甲D.甲和丙C思路导图分两种情况进行推理：（1）假设作案对象中有乙；（2）假设作案对象中没有乙若在这两种假设下，都能推得同一人一定参与了作案，则该人就是能肯定的作案对象解析：假设作案对象中有乙，由“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”及“乙不会开车”这两个条件，可知乙不会单独作案.又由“罪犯不在甲、乙、丙三人之外”，可知乙一定得请甲或丙共同作案，而若请丙，由条件（2）可知必定还要再请甲，所以在此假设下，甲一定是作案对象.若作案对象中没有乙，由条件（1）可知作案对象一定是甲或丙.若作案对象不是丙，则作案对象一定是甲.由此可知，无论作案对象中有没有乙，都能肯定甲参与了作案.故选C.解读中考：本节的主要内容是判断一个数学结论正确与否，在进行判断时需有根有据的推理.中考中经常需要通过“推理”来验证数学结论或推导结论.第七章平行线的证明2定义与命题定义的概念内容定义证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义内容知识解读（1）定义是能明确指出概念、含义或特征的句子，在表示定义的句子中常有“叫作……”或“称为……”等关键字眼.（2）定义必须是严密的，定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开，在定义中一般避免使用含糊不清的术语，如“大概”、“一些”、“差不多”等例1下列语句属于定义的是()A.两点之间线段最短B.25的平方根是±5C.同旁内角互补D.含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程解析：正确的一句话不一定是定义，只有对名称或术语的含义加以描述的句子才是定义.故选D.D定义是对名称或术语的含义加以描述，而不是对其性质加以判断.内容命题的定义、结构和真假（1）判断一件事情的句子，叫作命题.（2）一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式.（3）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题命题的概念内容知识解读（1）没有对一件事情作出肯定或否定判断的句子，如疑问句、画图语句等，都不是命题.（2）有些命题是有简述形式的，如“对顶角相等”，写成“如果……那么……”的形式时，在不改变原话意思的前提下，要适当添加一些词语，使语句通顺、完整.（3）判断一个命题是假命题可以用举反例来说明例2下列语句是命题的是（）A.连接A，B两点B.用三角尺画∠AOB=30°C.两点之间，线段最短D.一个数的立方大于它本身吗?解析：选项A，B，D都没有对一件事情作出任何判断，故都不是命题.选项C作出了判断，是命题.故选C.C巧记乐背：判断事情的句子叫命题，命题有真有假居其一，证明真命题要靠推理，证明假命题要举反例.公理、定理、证明的概念概念公理公认的真命题称为公理定理经过证明的真命题称为定理证明演绎推理的过程称为证明概念知识解读（1）公理是不需要推理证明的真命题；（2）定理都是真命题，但真命题不一定是定理，只有那些经过推理证明是正确的，具有很大实用价值的真命题才叫作定理；（3）公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据公理与定理的异同相同点：（1）都是真命题；（2）都可以作为证明其他命题的依据.不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明，而定理的真实性必须经过推理证明.例3下列说法不正确的是（）A.证实命题正确与否的推理过程叫作证明B.定理是可以从理论上进行推理证明的C.公理的正确与否必须用推理的方法来证实D.证明命题的真假时每一步都必须有依据解析：A.是证明的定义，故不符合题意；B.经过证明的真命题叫作定理，故不符合题意；C.公理是公认的真命题，不用证明，故符合题意；D.是演绎推理的要求，故不符合题意.故选C.C公理是不需要推理证明的公认的真命题，定理是需要用推理的方法来证明的真命题.对公理、定理的概念理解错误例4下列命题是假命题的是（）A.定理都是命题B.公理都是命题C.命题都是定理D.定义可作为推理的依据解析：定理、公理都是命题，定义可作为推理的依据，故A，B，D都正确，但命题有真有假，不一定是定理，故C是假命题.故选C.C本题由于对命题、定理、公理的定义，以及它们之间的联系与区别理解错误而易误选其他选项.混淆命题的条件与结论例5指出下列命题的条件和结论：(1)一个锐角的补角大于这个角的余角；(2)异号两数相加得0.解：(1)条件：一个角是锐角；结论：这个角的补角大于这个角的余角.(2)条件：两个数异号；结论：这两个数相加得0.写出一个命题的条件和结论，最好的方法是先将命题改写为“如果……那么……”的形式，由于不能正确地将命题写成“如果……那么……”的形式，故易混淆命题的条件和结论.题型一命题的定义以及写出命题的条件和结论例6在下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？若是命题，请先改写成“如果……那么……”的形式，再分别找出命题的条件和结论.（1）和为90°的两个角互为余角.（2）-8小于-6吗？（3）乘积为1的两个数互为倒数.思路导图根据命题的定义判断以上句子是不是命题将是命题的句子改写成“如果……那么……”的形式，再找出其条件和结论解：（1）是命题.改写：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角.条件：两个角的和为90°.结论：这两个角互为余角.（2）不是命题.（3）是命题.改写：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数.条件：两个数的乘积为1.结论：这两个数互为倒数.题型二判断命题的真假例7“若线段AO=BO，则O是线段AB的中点”是真命题还是假命题？请说明理由.解：假命题.理由如下：如图7-2-1，在等腰三角形AOB中，AO=BO，但O不是线段AB的中点.图7-2-1题型三推理证明题例8如图7-2-2，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想，并证明.图7-2-2分析：AC与CE可能垂直且相等，可以通过证明△ABC与△CDE全等得∠ACE=90°和AC=CE.解：AC与CE垂直且相等.证明如下：因为AB⊥BD，ED⊥BD，所以∠B=∠D=90°.又因为AB=CD，BC=DE，所以△ABC≌△CDE.所以AC=CE，∠A=∠DCE.因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A+∠ACB=90°.所以∠ACB+∠DCE=90°，所以∠ACE=90°.即AC⊥CE，所以AC与CE垂直且相等.方法点拨：对于几何证明题，即便是很简单的，心中也要有思路，但是正规的步骤也是非常重要的.思路和步骤是相互依存的，有了正确的思路，再加上规范的步骤就能做好一道几何题.解读中考：定义与命题是中考必考内容之一，主要考查判断命题的真假，常常与其他知识综合考查，多以选择题、填空题的形式出现，属于简单题.考点一判断命题的真假例9（湖北襄阳中考）下列命题错误的是（）A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数、0、负无理数D.两点之间，线段最短解析：因为所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A中的命题正确；因为等角的补角相等，所以B中的命题正确；无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C中的命题错误；两点之间，线段最短，所以D中的命题正确.故选C.C考点二举反例说明一个命题是假命题例10（浙江宁波中考）能说明命题“对于任何实数a，|a|-a”是假命题的一个反例可以是（）A.a=-2B.a=13C.a=1D.a=2解析：当a=-2时，|a|=2，-a=2，所以|a|=-a.故选A.A核心素养例11请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明.（1）若a＞b，则；（2）两个无理数的和仍是无理数；（3）若一个三角形的三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则这个三角形是等边三角形；（4）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形.22ab解：（1）若a＞b，则，是假命题