2019年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷(解析版)

2019年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（﹣3）2的值是（）A．﹣6B．6C．﹣9D．92．因式分解：a2﹣4＝（）A．（a﹣2）（a+2）B．（2﹣a）（2÷a）C．（a﹣2）2D．（a﹣2）（﹣a+2）3．在等腰三角形ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．8或10D．6或84．若实数k满足3＜k＜4，则k可能的值是（）A．2B．2C．D．|1﹣π|5．下列计算正确的是（）A．2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝x﹣3B．C．D．（x+1）÷y×＝x+16．在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），连接AD，下列表述错误的是（）A．若AD是BC边的中线，则BC＝2CDB．若AD是BC边的高线，则AD＜ACC．岩AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等D．若AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，则AD为BC边的高线7．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本3元，每支钢笔5元，求小明最多能买几支钢笔．设小明买了x支钢笔，依题意可列不等式为（）A．3x+5（30﹣x）≤100B．3（30﹣x）+5≤100C．5（30﹣x）≤100+3xD．5x≤100﹣3（30+x）8．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝2＝2，则下外说法正确的是（）A．AB＝AEB．AB＝2AEC．3∠A＝2∠CD．5∠A＝3∠C9．如图，直线l1∥l2∥l3，△ABC的三个顶点分別落在l1∥l2∥l3上，AC交l2与点D．设l1与l2的距离为h1，l2与l3的距离为h2．若AB＝BC，h1：h2＝1：2，则下列说法正确的是（）A．S△ABD：S△ABC＝2：3B．S△ABD：S△ABC＝1：2C．sin∠ABD：sin∠DBC＝2：3D．sin∠ABD：sin∠DBC＝1：210．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0二、填空題：本大题有6个小題，毎小题4分，共24分.11．（4分）四张卡片上分别写着﹣2，1，0，﹣1．若从中随机抽出一张，则此卡片上的数为负数的概率是．12．（4分）如图，过圆外一点P作⊙O的切线PC，切点为B，连结OP交圆于点A．若AP＝0A＝1，则该切线长为．13．（4分）两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一組，则这组新数据的中位数为．14．（4分）已知实数x满足•|x+1|≤0，则x的值为．15．（4分）如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，且点D，E分別在BC，AB上，连结AD和CE交于点H．若＝2，＝1，则BE的长为．16．（4分）已知实数x，y，a满足x+3y+a＝4，x﹣y﹣3a＝0．若﹣1≤a≤1，则2x+y的取值范围是．三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）某研究小组用随机抽样的方法，在本校初三年级开展了“你最喜欢的电视节目”调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）．（1）此次研究小组共调查了多少名学生？（2）若该学校初三年级共有300名学生，请你估计其中最喜欢“体育节目”的有多少．18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象过点（1，2），且b＝k+4．（1）当x＝3时，求y的值．（2）若点A（a﹣1，2a+6）在一次函数图象上，试求a的值．19．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥AC，DF∥BC，分别交BC，AC于点E，F．（1）求证：△ADF∽△DBE．（2）若BE：CE＝2：3，求AF：DE的值．20．（10分）如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．21．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，∠ACP＝45°，AP＝BC．（1）求证：AD＝BD（2）若∠CPA＝120°，BC＝2，求PB的长．22．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．（2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点①若x1+x2＝2，则y1＝y2，试求a的值．②当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．23．（12分）在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD上点，且CE＝CF，连结AE，AF，EF．记△CEF的面积为m，△AEF的面积为n．（1）求证：△ABE≌△ADF．（2）若AE⊥BC，CF：AE＝2：3，求sinD．（3）设BE：EC＝a，m＝3﹣a，试说明当a取何值时n的值最大，并求出n的最大值．2019年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据有理数的乘方的意义，（﹣3）2的值即是（﹣3）×（﹣3）的值，再运用有理数的乘法进行计算．【解答】解：（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9．故选：D．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．2．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．3．【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．【解答】解：当AC＝BC＝2时，2+2＝4，不符合三角形三边关系，故舍去；当AC＝AB＝4时，符合三边关系，其周长为4+4+2＝10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．【分析】利用平方法比较数的大小，因为9＜k2＜16，将2、2、分别平方即可求解；【解答】解：∵3＜k＜4，∴9＜k2＜16∵（2）2＝8，（2）2＝12，（）2＝，∴2满足给定的范围，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算；熟练掌握利用平方法比较无理数是解题的关键．5．【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：∵2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝2x﹣2﹣x+1＝x﹣1，故选项A错误，∵，故选项B错误，∵，故选项C正确，∵（x+1）÷y×＝（x+1）＝，故选项D错误，故选：C．【点评】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．6．【分析】根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：A、∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∴BC＝2CD，故A正确；B、∵AD是BC边的高线，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AD＜AC，故B正确；C、∵AD是△BAC的中线，则△ABD与△ACD的面积相等，故C错误；D、∵AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，∴△ABC是等腰三角形，∴AD为BC边的高线，故D正确，故选：C．【点评】本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键．7．【分析】设小明买了x支钢笔，则买了（30﹣x）本笔记本，根据总价＝单价×购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式．【解答】解：设小明买了x支钢笔，则买了（30﹣x）本笔记本，根据题意得：5x+3（30﹣x）≤100或5x≤100﹣3（30+x）．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．8．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系分别求出∠BOD、∠EOC、∠DOE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵＝2＝2，∴∠BOD＝∠EOC＝∠DOE，∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∴∠A＝45°，∵BC为直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AB＝AE，故A、B错误；3∠A＝135°，2∠C＝135°，∴3∠A＝2∠C，C正确；5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，∴5∠A≠3∠C，D错误；故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据弧的关系分别求出∠BOD、∠EOC、∠DOE是解题的关键．9．【分析】作AE⊥l2，CF⊥l2，如图，则AE＝h1，CF＝h2，利用三角形面积公式可得到S△ABD：S△BCD＝h1：h2＝1：2，则可对A、B进行判断；利用正弦的定义得到sin∠ABD＝，sin∠DBC＝，利用AB＝CB可对C、D进行判断．【解答】解：作AE⊥l2，CF⊥l2，如图，则AE＝h1，CF＝h2，∵S△ABD＝BD•AE＝BE•h1，S△BCE＝BD•CF＝BD•h2，∴S△ABD：S△BCD＝h1：h2＝1：2，∴S△ABD：S△ABC＝1：3，所以A、B选项错误；在Rt△ABE中，sin∠ABD＝＝，在Rt△BCF中，sin∠DBC＝＝，而AB＝CB，∴sin∠ABD：sin∠DBC＝h1：h2＝1：2，所以C选项错误，D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活应用相似三角形相似的性质进行几何计算．也考查了解直角三角形．10．【分析】将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可．【解答】解∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．【点评】本题考查二次函数最值的求法，通常将二次函数的解析式化为顶点式，来求顶点坐标及函数最值为常用的方法，因为要理解透彻．二、填空題：本大题有6个小題，毎小题4分，共24分.11．【分析】由在一个不透明的口袋中装有4张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，1，0，﹣1，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有4张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，1，0，﹣1，∴从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为：．故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．【分析】根据切线的性质定理可知OB⊥PB，由题意可知AP＝OA＝1，则OB＝1，于是根据勾股定理即可求出PB的长．【解答】解：∵OA、OB都是半径，∴OB＝OA＝AP＝1又∵PC与⊙O相切于B点∴OB⊥PB于是在Rt△PBO中，OB＝1，OP＝2∴PB＝＝故答案为．【点评】本题考查的是切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径．由相切到垂直是解题中常常用到的一种思路．13．【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位