特级教师王连笑2009年高考数学思想方法与教学专题课件(8个ppt )5。特殊与一般思想

5.特殊与一般的思想（王连笑）由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一对数学而这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想.1.用一般性结论解决特殊性问题【例1】(2006江西卷,理)对于R上可导的任意函数fx，若满足10xfx，则必有().（A）0221fff（B）0221fff（C）0221fff（D）0221fff【分析及解】依题意，当1x时，0fx，函数fx在（1，＋）上是增函数；当1x时，0fx，f（x）在（－，1）上是减函数，故fx当1x时取得最小值，即有01ff，21ff，即0221fff故选C本题首先考虑的是一般性的结果：任意函数fx当1x时取得最小值,然后再根据题目的要求,对特殊的函数值进行比较.【例2】(2008江苏卷)请先阅读：在等式2cos22cos1xx（xR）的两边求导，得：2(cos2)(2cos1) xx，由求导法则，得(sin2)24cos(sin)xxx，化简得等式：sin22cossinxxx．（Ⅰ）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x）n＝0122CCCCnnnnnnxxx（xR，正整数2n），证明：-11211Cnnkknknxkx．（Ⅱ）对于正整数3n，求证：（1）1(1)Cnkknkk＝0；（2）21(1)Cnkknkk＝0；（3）11121C11nnknkkn．【分析及解】（Ⅰ）将等式（1＋x）n＝0122CCCCnnnnnnxxx两边求导得：-112321123nnnnnnnnxCCxCxnCx＝n＋12Cnkknkkx．所以-11211Cnnkknknxkx．（Ⅱ）证明这三个结论可以使用（Ⅰ）已经得到的一般性结论和方法.（1）由（Ⅰ）的结果，有-111211nnnkkkknnkknxnkCxkCx，令1x，则有1(1)Cnkknkk＝111(1)C(1)1110nnkknkkn（2）对等式-1123211=C2C3CCnnnnnnnnxxxnx＝11Cnkknkkx再一次求导得22211(1)nnkknknnxkkCx．所以21(1)Cnkknkk＝11(1)(1)C(1)Cnnkkkknnkkkkk2111(1)C(1)C(1)nnkkkknnkkkkk21111110nnnnn（3）因为11!!C11!()!(1)!()!knnnkkknkknk＝111(1)!1(1)!1C1(1)!()!1(1)![(1)(1))!1knnnnknknknkn所以1111111110011121CC(CCC)1111nnnkknnnnnnkkknnn．2.从特殊性结果归纳出一般性结论【例1】(2005北京卷，理)已知n次多项式1011()nnnnnPxaxaxaxa,如果在一种算法中，计算0kx（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算30()Px的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()nPx的值共需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()kkkPxaPxxPxa（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算30()Px的值共需要6次运算，计算0()nPx的值共需要次运算．【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查.第一种算法,计算0()nPx的值共需要nnn1)1(次运算,即23nn次运算;第二种算法,计算0()nPx的值可以采用递推的方法.设计算0()nPx的值的次数为nb,则21nnbb,由nb是等差数列及21b可得nbn2.【例2】（2002年北京卷）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单的模型问题：用计算机求n个不同的数,,21vv…nv,的和211vvvini…nv，计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器有一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其它机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法，比如2n，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：第一单位时间第二单位时间第三单位时间机器号初始时被读机号结果被读机号结果被读机号结果11v221vv22v112vv（Ⅰ）当4n时，至少需要多少单位时间可完成计算?把你设计的方法填入下表第一单位时间第二单位时间第三单位时间机器号初始时被读机号结果被读机号结果被读机号结果11v221vv31234vvvv22v112vv42134vvvv33v434vv13412vvvv44v343vv24321vvvv（Ⅱ）当128n时，要使所有机器都得到iniv1，至少需要多少单位时间可完成计算？（结果不要求证明）【分析及解】（Ⅰ）由2n得到启发,当4n时，在第一单位时间,1号机与2号机互相读取,都得到21vv,3号机与4号机互相读取,都得到34vv.在第二单位时间,,1号机与3号机互相读取,都得到1234vvvv,2号机与4号机互相读取,都得到1234vvvv.因此,至少需要两个单位时间可完成计算.（Ⅱ）当128n时，要使所有机器都得到iniv1，由72128可知,至少需要7个单位时间可完成计算.【例3】(2008湖北卷,理15)观察下列等式：2111,22niinn2321111,326niinnn34321111,424niinnn454311111,52330niinnnn5654211151,621212niinnnn67653111111,722642niinnnnn……………………………………212112101,nkkkkkkkkkiiananananana可以推测，当x≥2（*kN）时，1111,,12kkkaaak,2ka.【分析及解】由观察可知当2k时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以112kka，第四项均为零，所以20ka。3.用特殊化方法解决一般性问题【例1】（2006天津卷，理）已知数列,nnab都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,ab,且115ab,11,abN,设nnbcanN,则数列nc的前10项和等于().(A)55(B)70(C)85(D)100【分析及解】用特殊化策略.设11,b则114.baa从而nbn,于是有1121011413.12103085.nnbbncaabnnccc本题根据选择题的特点,对1b赋予特殊值,求出数列nc的前10项和,从而排除错误的结果,选出符合题目要求的选项.【例2】（2004全国卷）已知,ab为不垂直的异面直线，是一个平面，则,ab在上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号)【分析及解】这是一个命题判断题,本题判断的关键词是“有可能是”,即只要找到一种正确的特殊的情况,就“有可能是”,反之,必须对于所有情况都不成立才没有“可能是”.所以,对这道命题判断,其思维的依据就是特殊于一般的数学思想.解决这个问题的方法,可以用特殊化的方法,我们选取具有平行和垂直明显特征的一个特殊几何体,即正方体.D1EC1B1A1CDBAD1C1B1A1CDBAD1C1B1A1CDBA图5-1图5-2图5-3如图5-1,BE和1CD是不垂直的异面直线,它们在平面ABCD上的射影是ABCD和,是两条平行直线,所以,命题①正确’如图5-2,11ABCB和是不垂直的异面直线,它们在平面ABCD上的射影是ABBC和,是两条互相垂直的直线,所以,命题②正确;如图5-3,11ABCC和是不垂直的异面直线,它们在平面ABCD上的射影是AB和点C,是一条直线及其外一点;所以,命题④正确;而命题③不正确,用反证法.假设,ab在上的射影是同一条直线c,则,,abc三线共面,与,ab为异面直线相矛盾,故命题③不正确.所以,正确结论的编号是①,②,④.D1EC1B1A1CDBAD1C1B1A1CDBAD1C1B1A1CDBA图5-1图5-2图5-34.从特殊性入手解决一般性结论【例1】(2000全国卷，理)（Ⅰ）已知数列nc，其中23nnnc，且数列1nncpc为等比数列，求常数p；（Ⅱ）设,nnab是公比不相等的两个等比数列，nnncab，证明：数列nc不是等比数列.【分析及解】（Ⅰ）从特殊性入手,因为数列1nncpc为等比数列，则对特殊的1,2,3n,即213243,,cpccpccpc也成等比数列,于是2322143cpccpccpc由题设，12345,13,35,97.cccc235131359735ppp，整理得2560,pp解得2p或3p.下面研究一般情况,即2p或3p时,数列1nncpc是否为等比数列.当2p时，1112232233nnnnnnncc，则1nncpc为等比数列.当3p时,1113233232nnnnnnncc，则1nncpc为等比数列.于是，当2p或3p时，，数列1nncpc为等比数列.（Ⅱ）要证明数列nc不是等比数列，只要证明一个特殊的情形，即123,,ccc不是等比数列就可以了.为此,设,nnab的公比分别为,,.pqpq则由nnncab得22222221111112,capbqapbqabpq222222221311111111(),ccabapbqapbqabpq由于pq,则222pqpq,因此,2213ccc,所以123,,ccc不是等比数列,进而,数列nc不是等比数列.【例2】(1989全国卷)是否存在常数,,abc使得等式222211223112nnnnanbnc对一切正整数n都成立？并证明你的结论．【分析及解】这是一个探索性问题,问题是能否求出,,abc的值,使等式对一切正整数n都成立,我们可以从特殊性入手,通过特殊的n,建立方程,解出,,abc,再证明这些由特殊方程得到的,,abc,能适合所有的正整数n.因为要确定三个系数,所以可以建立三个方程.取1,2,3n,代入题设的等式,124,12232242,1234709312abcabcabc解得3,11,10.abc题设的等式化为22221122313111012nnnnnn.这一等式至少对1,2,3n成立,我们只要用数学归纳法就可以证明所得结果对一切正整数n都成立,这里就不再证明了.