上课用20150928-01-最优控制理论

最优控制理论合肥工业大学电气与自动化工程学院©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation2自动控制理论、现代控制理论基础先修课程教学时间安排授课：24学时学分：1.5学分©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation3授课内容第1章引言第2章用变分法求解最优控制问题第3章极小值原理及其应用第4章线性二次型问题的最优控制第5章动态规划法©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation4最优控制是系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。第1章引言1.1最优控制发展简史一、现代控制理论现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面：1、线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。2、系统辨识：根据输入、输出观测确定系统数学模型。3、最优控制：寻找最优控制向量u(t)。根据给定的目标函数和约束条件,寻求最优的控制规律的问题。4、最佳滤波（卡尔曼滤波、最优估计）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出估计状态变量。5、适应控制：利用辨识系统动态特性的方法随时调整控制规律以实现最优控制，即在参数扰动情况下，控制器的设计问题。把鲁棒控制、预测控制均纳入到现代控制理论的范畴。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation5二、最优控制的发展简史第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation6二、最优控制的发展简史先期工作：1948年，维纳(N.Wiener)发表《控制论》，引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了相对于某一性能指标进行最优设计的概念。1950年,米顿纳尔(Medona1)首先将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的过渡过程的时间最短最优控制问题。1954年，钱学森编著《工程控制论》（上下册），作者系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发展。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation7理论形成阶段：自动控制联合会(IFAC)第一届世界大会于1960年召开,卡尔曼（Kalman）、贝尔曼（R.Bellman）和庞特里亚金（Pontryagin）分别在会上作了“控制系统的一般理论”、“动态规划”和“最优控制理论”的报告,宣告了最优控制理论的诞生,人们也称这三个工作是现代控制理论的三个里程碑。1953－1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation81956－1958年，庞特里亚金创立“极小值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩—图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation9三、研究最优控制的方法从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里雅金提出的“极大值原理”；另一种是美国学者贝尔曼提出的“动态规划”。极大值原理是庞特里雅金等人在1956至1958年间逐步创立的，先是推测出极大值原理的结论，随后又提供了一种证明方法。动态规划是贝尔曼在1953年至1958年间逐步创立的，他依据最优性原理发展了变分学中的哈密顿-雅可比理论，构成了动态规划。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation10由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可用的计算工具，为实际应用一些更完善的数学方法提供了工程实现的物质条件，高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现有了可能，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。四、求解最优控制问题可以采用解析法或数值计算法变分法无约束极值原理、动态规则有约束区间消去法爬山法梯度法最优控制问题解析法数值计算法©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation11什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明问题6-1电动机的运动方程为tJTIKDFDmdd（1）其中，为转矩系数；为转动惯量；为恒定的负载转矩；mKDJFT希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻上的损耗最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDDI因为是时间的函数，E又是的函数，E是函数的函数，称为泛函。DIconstttftd)(0（2）1.2最优控制问题的实例©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation12采用状态方程表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于是FDDDmTJIJKxxxx10000102121（3）初始状态00)0()0(21xx末值状态0)()(21fftxtxDI控制不受限制性能指标ttIREDtDfd)(20（4）)(tID本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个控制，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E为最小。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation13问题6-2对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(tID时刻的静止状态转过一个角度又停下，求控制（是受到限制的），使得所需时间最短。00t)(tID这也是一个最优控制问题：系统方程为FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始状态00)0()0(21xx末值状态0)()(21fftxtx)(tIDmaxDI≤（5）性能指标ftttJf0d（6）)0(x最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将转移到，使J为极小。maxDI)(tID≤)(ftx©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation14例1.1月球上的软着陆问题飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设不带燃料的飞船质量为M，初始燃料的总质量为F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，k为比例系数，表示推力与燃料消耗率的关系，那么飞船的运动方程式可以表示为：)()()()()()()(tkutmtmtugtvtvth初始条件FMmvvhh)0()0()0(00终端条件0)(0)(fftvth性能指标是使燃料消耗为最小，即约束条件)(0tu)(ftmJ达到最大值我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation15系统状态方程为),(tux,fx初始状态为)(0tx其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量；f为n维向量函数，它是x、u和t的连续函数，并且对x、t连续可微。最优。其中是x、u和t的连续函数),,(tuxL)(ftxrRu寻求在上的最优控制或，以将系统状态从转移到或的一个集合，并使性能指标],[0fttrRUu)(0tx)(ftxttttJfttffd),,(]),([0uxLx最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。1.3最优控制问题的提法©2008HFUT最优控制理论电气与自动化工程学院SchoolofElectricalEngineeringandAutomation16在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。1)有一个被控对象（受控系统的数学模型）一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一般形式为：00)()),(),(()(xtxttutxftx)(tx是n维状态向量)(tu为p维控制向量,在[t0,tf]上分段连续)),(),((ttutxf为n维连续向量函数,对x和t连续可微)),()(),(),()(),(()),()(),(),()(),(()),()(),(),()(),(()),(),(()),(),(()),(),(()),(),(()(2121212122121121ttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutututxtxtxft