2004-2013十年高考数学真题分类汇编附详解平面向量

平面向量一、选择填空题1.（江苏2003年5分）O是平面上一定点，ABC、、是平面上不共线的三个点，动点P满足(),0,,ABACOPOAPABAC则的轨迹一定通过ABC的【】A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B。【考点】向量的线性运算性质及几何意义。【分析】∵ABAB、ACAC分别表示向量AB、AC方向上的单位向量，∴ABACABAC的方向与∠BAC的角平分线一致。再由()ABACOPOAABAC可得到()ABACOPOAABAC，即()ABACAPABAC可得答案：向量AP的方向与∠BAC的角平分线一致。∴一定通过△ABC的内心。故选B。2.（江苏2004年4分）平面向量ba,中，已知a=(4，－3)，b=1，且ba=5，则向量b=▲.【答案】43,53。【考点】平面向量数量积的运算。【分析】∵a=(4，－3)，∴5a。又∵b=1，ba=5，∴5cos,151ababab。∴,ab同向。∴11434,3,5553ba。3.（江苏2005年4分）在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA(OBOC)的最小值是▲【答案】－2。【考点】向量与解析几何的综合应用。【分析】如图，由向量的运算法则，得OA(OBOC)2OAOM2OAOM。设OAx，则由AM=2得，OM2x。则22OA(OBOC)2224212xxxxx。∴当x=1时，OA(OBOC)有最小值－2。4.（江苏2006年5分）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|MNNP0，则动点P（x，y）的轨迹方程为【】（A）xy82（B）xy82（C）xy42（D）xy42【答案】B。【考点】平面向量的数量积运算，抛物线的定义。【分析】设P（x，y），0,0xy，M（－2，0）、N（2，0），MN4，则MP(2,),NP(2,)xyxy，由|MN||MP|MNNP0，则224(2)4(2)0xyx，化简整理得xy82。故选B。gkstkgkstk]5.（江苏2007年5分）已知两条直线,mn，两个平面,，给出下面四个命题：gkstkgkstk]①//,mnmn②//,,//mnmn③//,////mnmn④//,//,mnmn其中正确命题的序号是【】A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】C。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；②中，由面面平行的定义，,mn可以平行或异面；③中，用线面平行的判定定理知，n可以在内。故选C。6.（江苏2008年5分）已知向量a和b的夹角为0120，||1,||3ab，则|5|ab▲．【答案】7。【考点】向量的模。【分析】根据向量的数量积运算公式化简后把已知条件代入求值即可∵2222552510ababaabb=22125110133492，∴57ab。7.（江苏2009年5分）已知向量a和向量b的夹角为30o，||2,||3ab，则向量a和向量b的数量积ab=▲。gkstkgkstk]【答案】3。【考点】平面向量数量积的运算。【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可：03cos302332abab。8.（江苏2011年5分）已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea若0ba，则k的值为▲【答案】54k。【考点】向量的概念，向量的数量运算。【分析】∵0ba，∴121212(2)()2(12)0eekeekkee,又∵21,ee是夹角为32的两个单位向量，∴1221cos32ee。∴12(12)02kk，解得54k。9.（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是▲．【答案】2。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由2ABAF，得cos2ABAFFAB，由矩形的性质，得cos=AFFABDF。∵2AB，∴22DF，∴1DF。∴21CF。记AEBF和之间的夹角为,AEBFBC，，则。又∵2BC，点E为BC的中点，∴1BE。∴=cos=cos=coscossinsinAEBFAEBFAEBFAEBF=coscossinsin=122212AEBFAEBFBEBCABCF。本题也可建立以,ABAD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。10、（2013江苏卷10）10．设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32，若ACABDE21（21，为实数），则21的值为。答案：10．12二、解答题1.（江苏2008年附加10分）如图，设动点P在棱长为1的正方体1111-ABCDABCD的对角线1BD上，记11DPDB．当APC为钝角时，求的取值范围．gkstk]【答案】解：由题设可知，以DA、DC、1DD为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,1)D。由1(1,1,1)DB，得11(,,)DPDB。∴11(,,)(1,0,1)(1,,1)PAPDDA，11(,,)(0,1,1)(,1,1)PCPDDC。显然APC不是平角，∴APC为钝角等价于coscos,0PAPCAPCPAPCPAPC，则等价于0PAPC即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0，得113。∴的取值范围是1(,1)3。【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离。【分析】建立空间直角坐标系，Dxyz将PA，PC用关于λ的字母表示。由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于coscos,0PAPCAPCPAPCPAPC，根据向量数量积的坐标运算即可。2.（江苏2010年14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。一、求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；二、设实数t满足(OCtAB)·OC=0，求t的值。【答案】解：（1）由题设知(3,5),(1,1)ABAC，则(2,6),(4,4)ABACABAC，∴||210,||42ABACABAC。∴所求的两条对角线的长分别为42、210。（2）由题设知：OC=(－2,－1)，(32,5)ABtOCtt。由(OCtAB)·OC=0，得：(32,5)(2,1)0tt，从而511,t∴115t。【考点】平面向量的几何意义、线性运算、数量积。【分析】（1）应用平面向量的加法运算法则可直接得到结果。（2）应用平面向量的减法运算法则，求得(32,5)ABtOCtt：应用两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和可直接得到结果。3.（江苏2011年附加10分）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA2，AB1，点N是BC的中点，点M在1CC上．设二面角1ADNM的大小为．（1）当90时，求AM的长；（2）当6cos6时，求CM的长．【答案】解：建立以D为坐标原点，DA，DC,1DD所在直线分别为zyx,,轴的空间直角坐标系Dxyz。设CM(02)tt，则各点的坐标为11A1,0,0,A(1,0,2),N(,1,0)2,M(0,1,)t，∴11DN(,1,0),DM(0,1,),DA(1,0,2)2t。设平面DMN的法向量为),,(1111zyxn，则1DN0n,1DM0n，即0,021111tzyyx，令11z，则tytx11,2，∴)1,,2(1ttn是平面DMN的一个法向量。设平面1ADN的法向量为),,(2222zyxn，则21DA0n，2DN0n，即02,022222yxzx，令12z，则ABCD1A1B1C1DNM1,222yx。∴)1,1,2(2n是平面1ADN的一个法向量，从而1521tnn。（1）∵90，∴01521tnn，解得51t，从而1M(0,1,)5，∴2151AM11()55。（2）∵6,15221ntn，∴12251cos,6(51)tnnt。∵21,nn，或21,nn，∴2516||66(51)tt，解得,0t或12t。∴根据图形和（1）的结论可知,21t从而CM的长为21。【考点】向量在几何中的应用。【分析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设CM=t（0≤t≤2），通过1DN0n,1DM0n，求出平面DMN的法向量为)1,,2(1ttn，由21DA0n，2DN0n求出平面A1DN的法向量为)1,1,2(2n，推出1521tnn。（1）由90求出M的坐标，然后求出AM的长。gkstk（2）由12251cos,6(51)tnnt以及6cos6，求出CM的长。4、（2013江苏卷15）15．本小题满分14分。已知(cos,sin)(cos,sin)ab＝，，0。gkstk]（1）若||2ab，求证：ab；（2）设(0,1)c，若abc，求,的值。15．解：（1）∵2||ba∴2||2ba即22222bbaaba，又∵1sincos||2222aa，1sincos||2222bb∴222ba∴0ba∴ba（2）∵)1,0()sinsin,cos(cosba∴1sinsin0coscos即sin1sincoscos两边分别平方再相加得：sin221∴21sin∴21sin∵0∴61,65