凸函数的性质及其应用论文

教育史一项良心工程凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractInthisarticle，firstwelistseveralkindofdefinitionsforconvexfunctions，thenwegiveseveralimportantpropertiesofconvexfunctions;finallywediscusstheapplicationofconvexfunctionsindifferentialcalculus,integralcalculus,andtheproofofinequality.Keywordsintegralpropertiesofconvexfunctions;inequalityofconvexfunctions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1凸函数的定义及其相互关系定义1设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)xxI,有1212[(1)]()(1)()fxxfxfx上式中“”改成“”则是严格凸函数的定义.定义2设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当:12,,xxI有1212()().22xxfxfxf定义3设()fx在区间I上有定义,()fx在区间I称为是凸函数当且仅当：1,2,...,nxxxI,有1212......()()......().nnxxxfxfxfxfnn定义4()fx在区间I上有定义,当且仅当曲线()yfx的切线恒保持在曲线以下,则成()fx为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()fx为严格凸的.引理1定义2与定义3等价.引理2若()fx连续,则定义1，2，3等价.2凸函数的性质黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文1定理1设()fx在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,123,,,xxxI123xxx保持成立）：（i）()fx在I上为凸函数（1）（ii）2121()()fxfxxx3131()()fxfxxx（2）(iii)31323132()()()()fxfxfxfxxxxx（3）(iv)2121()()fxfxxx3232()()fxfxxx（4）推论1若()fx在区间I上为凸函数，则I上任意三点123xxx，有2121()()fxfxxx3131()()fxfxxx3232()()fxfxxx.推论2若()fx在区间I上的凸函数，则0,xI过0x的弦的斜率()kx00()()fxfxxx是x的增函数（若f为严格凸的,则()kx严格增）.推论3若()fx是区间I上的凸函数，则I上任意四点stuv有()()ftfsts()()fvfuvu.推论4若()fx是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数(),()fxfx皆存在，皆为增函数，且()()fxfx0()xI这里0I表示I的全体内点组成之集合.（若f为严格凸的，则'f与'f为严格递增的）.证明因x为内点,故12,,xxI使得12xxx,从而（利用推论2）,1212()()()()fxfxfxfxxxxx.再由推论2所述,当1x递增时,11()()fxfxxx也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且'f(x)=101212()()()()limxxfxfxfxfxxxxx.同理,在此式中，令2xx时,可知'()fx存在,且''()()fxfx.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f与'f皆黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文2为增函数.推论5若()fx在区间I上为凸的，则f在任一内点x0I上连续.事实上由推论4知f与f存在，所以f在x处左右都连续.定理2设函数()fx在区间I上有定义，则()fx为凸函数的充要条件是：00,xI，使得xI,有()fx00()()xxfx.证明（必要性）因()fx为凸函数，由上面的推论4知，0'00,()xIfx存在且'000()()()fxfxfxxx.由此任取一'0(),fx则0xx时有00()()()fxxxfx.因''00()fxfx(),所以对任一:''00()(),fxfxxI恒有()fx00()()xxfx.(充分性)设123xxx是区间I上的任意三点，由已知条件222,,()()()xfxxxfx()xI,由此令1xx和3xx，可以得到32123212()()()()fxfxfxfxxxxx,由定理1可知()fx为凸的.定理3设()fx在区间I上有导数，则()fx在I上为凸函数的充要条件是()()fxIx递增.证明（充分性）12,xxI,不妨设12xx及（0,1）,记12(1)xxx，则1212()[(1)]()(1)()fxfxxfxfx,或12()()(1)()0fxfxfx(1)由于()()(1)()fxfxfx(1)式等价于12[()()](1)[()()]0fxfxfxfx(2)应用Largrange定理，12,:,xx使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()fxfxfxfxfxxfxx，但112121[(1)](1)()xxxxxxx,212212[(1)]()xxxxxxx.黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文3故（2）式左端=12[()()](1)[()()]fxfxfxfx''221()(1)()(1)()()fxxfxx21(1)()[()()]xxff按已知条件()()fxIx递增，得知()()ff,从而上式0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,()fx在0I内为递增的，因()fx存在，故()()fxfx亦在0I内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，0xI易知:''''()()()()()()fxfbfxfxfbfbxb同理，若I有左端点a,则()(),fafx即()fx在I上为递增的.推论若()fx在区间I上有二阶导数，则()fx在I上为凸函数的充要条件是：()0fx定理4（Jensen不等式）若()fx为[a,b]上的凸函数，则[,]ixab,0(1,2,...,),iin11,nii，有11()()nniiiiiifxfx.证明应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k时命题成立,即对任何12,,...,[,]kxxxab与10,1,2,...,,1niiiik都有11()()kkiiiiiifxfx现设121,,...,,[,]kkxxxxab及0i（i=1,2,…k+1）,111kii.令1,1iiki=1,2,…,k,则11kii.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1kiikiiikkkikxfxfx1111(1)()kkiikkixfx1111(1)()()kkiikkifxfx=11111(1)()()1kikikkikfxfx黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文4=11()kiiifx即对任何正整数n(n2),上述不等式成立.推论设()fx在区间I上是凸函数,则对于任意的12,,...,mxxxI和120m，，...,都有1122111212...()...()()......mmmmmmxxxfxfxf.3凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz性质.例1设函数()fx在区间I上为凸函数，试证：()fx在I上的任一闭子区间上有界.证明设[,]abI为任一闭子区间:①（证明()fx在[,]ab上有上界）[,],xab取[0,1],xaba(1)xba.因()fx为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)fxfbafbfaMMM其中max{(),()}Mfafb.故在[,]ab上有上界M；②（证明()fx在[,]ab上有下界）记2abc为,ab的中点，则[,]xab，有关于c的对称点x，因()fx为凸函数，所以()()11()()222fxfxfcfxM,从而()2()fxfcMm，即m为()fx在[,]ab上的下界.例2设()fx为区间(a,b)内的凸函数，试证：()fx在I上的任一内闭区间[,][,]ab上满足Lipschitz条件.证明要证明()fx在区间[,]上满足Lipschitz条件，即要证明：0,L使得12,[,]xx有1212()()fxfxLxx(1)因为[,][,]ab，故可取h0充分小，使得[,](,)hhab与此12,[,],xx若12,xx取32xxh.由凸性，32212132()()()()fxfxfxfxMmxxxxh（其中M,m分别表示黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文5()fx在[,]hh上的上下界）,从而2121()()Mmfxfxxxh(2)若21,xx可取32,xxh由()fx的凸性，有23122312()()()fxfxfxfxxxxx，从而21322132()()()fxfxfxfxMmxxxxh由此可得(2)式成立.若12xx，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切12,[,]xx皆成立.因此（2）式当1x与2x互换位置也成立，故有2121()()Mmfxfxxxh，令,MmLh则（1）式也获证.例3设()fx为区间(,)ab内的凸函数,并且有界,试证极限lim()xafx与lim()xbfx存在.证明设x（a,b）时10xf(x)M,xx为(,)ab内任意三点，根据()fx的凸性,当x递增时00()()fxfxxx也递增.又因为0010010()()()()fxfxMfxxxxxxxx,根据单调有界原理,有极限000()()limxbfxfxAxx,从而000000()()lim()lim()()()()xbxbfxfxfxxxfxAbxfxxx亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4设()fx为区间[,]ab上连续的凸函数.试证:1212,[,],xxabxx，有21121221()()1()()22xxxxfxfxfftdtxx.证明令121(),(0,1),txxx则2