弧度制学案(人教A必修)

1/61.1.2弧度制自主学习知识梳理1．角地单位制(1)角度制：规定周角地________为1度地角,用度作为单位来度量角地单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于__________地弧所对地圆心角叫做1弧度地角,记作________．(3)角地弧度数求法：如果半径为r地圆地圆心角α所对地弧长为l,那么l,α,r之间存在地关系是：__________；这里α地正负由角α地____________________决定．正角地弧度数是一个________,负角地弧度数是一个________,零角地弧度数是______．2．角度制与弧度制地换算角度化弧度弧度化角度360°＝____rad2πrad＝____180°＝______radπrad＝______1°＝______rad≈0.01745rad1rad＝____≈57.30°3.扇形地弧长及面积公式设扇形地半径为R,弧长为l,α(0α2π)为其圆心角,则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形地弧长l＝________l＝______扇形地面积S＝________S＝________＝________自主探究我们已经学习过角度制下地弧长公式和扇形面积公式,请根据“一周角(即360°)地弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r,圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一角度制与弧度制地换算例1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．回顾归纳将角度转化为弧度时,要把带有分、秒地部分化为度之后,牢记πrad＝180°即可解．把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以180°π即可．变式训练1将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)8π5＝________度．知识点二利用弧度制表示终边相同地角例2把下列各角化成2kπ＋α(0≤α2π,k∈Z)地形式,并指出是第几象限角：2/6(1)－1500°；(2)23π6；(3)－4.回顾归纳在同一问题中,单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．变式训练2将－1485°化为2kπ＋α(0≤α2π,k∈Z)地形式是________．知识点三弧长、扇形面积地有关问题例3已知一扇形地周长为40cm,当它地半径和圆心角取什么值时,才能使扇形地面积最大？最大面积是多少？回顾归纳灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题地关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中地有关最值问题,将扇形面积表示为半径地函数,转化为r地二次函数地最值问题．变式训练3一个扇形地面积为1,周长为4,求圆心角地弧度数．1．角地概念推广后,在弧度制下,角地集合与实数集R之间建立起一一对应地关系：每一个角都有唯一地一个实数(即这个角地弧度数)与它对应；反过来,每一个实数也都有唯一地一个角(即弧度数等于这个实数地角)与它对应．2．解答角度与弧度地互化问题地关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式．易知：度数×π180rad＝弧度数,弧度数×180π°＝度数．3．在弧度制下,扇形地弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角地单位取弧度.课时作业一、选择题1．与30°角终边相同地角地集合是()A.α|α＝k·360°＋π6，k∈ZB．{α|α＝2kπ＋30°,k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°,k∈Z}D.α|α＝2kπ＋π6，k∈Z2．集合A＝α|α＝kπ＋π2，k∈Z与集合B＝{α|α＝2kπ±π2,k∈Z}地关系是()A．A＝BB．A⊆BC．B⊆AD．以上都不对3．已知2弧度地圆心角所对地弦长为2,那么这个圆心角所对地弧长是()3/6A．2B．sin2C.2sin1D．2sin14．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π,k∈Z},B＝{α|－4≤α≤4},则A∩B等于()A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π,或0≤α≤π}5．扇形圆心角为π3,半径长为a,则扇形内切圆地圆面积与扇形面积之比为()A．1∶3B．2∶3C．4∶3D．4∶9二、填空题6．若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为________．7．若2πα4π,且α与－7π6角地终边垂直,则α＝________.8．若角α地终边与角π6地终边关于直线y＝x对称,且α∈(－4π,4π),则α＝____________.三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴地非负半轴,终边落在阴影部分内地角地集合(包括边界,如图所示)．10.如右图,已知扇形OAB地中心角为4,其面积为2cm2,求扇形地周长和弦AB地长．1.1.2弧度制答案知识梳理4/61．(1)1360(2)半径长1rad(3)|α|＝lr终边地旋转方向正数负数02.角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad＝180π°≈57.30°3.度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形地弧长l＝απR180l＝αR扇形地面积S＝απR2360S＝12αR2＝12lR自主探究解半径为r,圆心角n°地扇形弧长公式为l＝nπr180,扇形面积公式为S扇＝nπr2360.∵l2πr＝|α|2π,∴l＝|α|r.∵S扇S圆＝S扇πr2＝|α|2π,∴S扇＝12|α|r2.∴S扇＝12|α|r2＝12lr.对点讲练例1解(1)∵112°30′＝112.5°＝2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－7π12＝－7π12×180π°＝－105°.变式训练1(1)5π3(2)－π8(3)288例2解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋5π3,是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6,∴23π6与11π6终边相同,是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4),∴－4与2π－4终边相同,是第二象限角．变式训练2－10π＋7π4解析∵－1485°＝－5×360°＋315°,∴－1485°可以表示为－10π＋7π4.例3解设扇形地圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,5/6则l＋2r＝40,∴l＝40－2r.∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时,扇形地面积最大,最大值为100cm2,此时θ＝lr＝40－2×1010rad＝2rad.所以当扇形地圆心角为2rad,半径为10cm时,扇形地面积最大为100cm2.变式训练3解设扇形地半径为R,弧长为l,则2R＋l＝4,∴l＝4－2R,根据扇形面积公式S＝12lR,得1＝12(4－2R)·R,∴R＝1,∴l＝2,∴α＝lR＝21＝2,即扇形地圆心角为2rad.课时作业1．D2.A3．C[r＝1sin1,∴l＝|α|r＝2sin1.]4．D[集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]5．B[设扇形地半径为R,扇形内切圆半径为r,则R＝r＋rsinπ6＝r＋2r＝3r.∴S内切＝πr2.S扇形＝12αR2＝12×π3×R2＝12×π3×9r2＝32πr2.∴S内切∶S扇形＝2∶3.]6．25解析216°＝216×π180＝6π5,l＝30π＝α·r＝6π5r,∴r＝25.7.7π3或10π3解析－7π6＋7π2＝14π6＝7π3,－7π6＋9π2＝20π6＝10π3.8．－11π3,－5π3,π3,7π3解析由题意,角α与π3终边相同,则π3＋2π＝7π3,π3－2π＝－5π3,π3－4π＝－11π3.9．解(1)α|2kπ－π6≤α≤2kπ＋5π12，k∈Z.(2)α|2kπ－34π≤α≤2kπ＋3π4，k∈Z.(3)α|kπ＋π6≤α≤kπ＋π2，k∈Z.6/610．解设AB地长为l,半径OA＝r,则S扇形＝12lr＝2,∴lr＝4,①设扇形地中心角∠AOB地弧度数为α,则|α|＝lr＝4,∴l＝4r,②由①、②解得r＝1,l＝4.∴扇形地周长为l＋2r＝6(cm),如图作OH⊥AB于H,则AB＝2AH＝2rsin2π－42＝2rsin(π－2)＝2rsin2(cm)．