高中数学公式总结【全】【13-15】

③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)aaaabbbb．④根据法向量定义建立方程组00nanb.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明1l∥2l，只需证明a∥b，即()akbkR.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。⑵线面平行①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只需证明au，即0au.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明12ll，只需证明ab，即0ab.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。⑵线面垂直①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a∥u，即au.②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若0,.0amlan则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证0uv.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知,ab为两异面直线，A，C与B，D分别是,ab上的任意两点，,ab所成的角为，则cos.ACBDACBD⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角奎屯王新敞新疆②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：coss.inauau⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面奎屯王新敞新疆二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角.如图：②求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为mn、，再设mn、的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为mn、的夹角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：◆如果是锐角，则coscosmnmn，即arccosmnmn；◆如果是钝角，则coscosmnmn，即arccosmnmn.5、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为221(||||)()||hababa⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.即cos,dMPnMPnMPMPnMPnMPn⑶直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即.nMPdn⑷两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.nMPdn⑸异面直线间的距离设向量n与两异面直线,ab都垂直，,,MaPb则两异面直线,ab间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。即.nMPdn6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直奎屯王新敞新疆推理模式：,,POOPAAaPAaaOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直奎屯王新敞新疆推理模式：,,POOPAAaAOaaAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与(AD)所成的角为1，AD与AC所成的角为2，AB与AC所成的角为．则12coscoscos.8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则'cos=.SSSS射原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.