2016届高考数学一轮复习 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲传真要求内容ABC线性规划√1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，ykx＋b表示直线的平面区域，ykx＋b表示直线的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．上方下方2．线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x，y满足的一次不等式(组)线性目标函数关于变量x，y的线性函数可行域所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的或问题约束条件最大值最小值最大值最小值1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()[解析](1)当B0时才表示直线上方的平面区域，故(1)错误．(2)最优解的个数可能一个，也可能多个、无数个．故(2)正确．(3)线性目标函数取得最值的点有特殊要求时，如有实际意义或必须是整数组成时，可能在内部．故(3)错误．(4)只有b＝1时，z的几何意义是直线在y轴上的截距．故(4)错误．[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如果点(1，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为________．[解析]由题意知(6－8b＋1)(3－4b＋5)＜0，∴78＜b＜2，∴b应取的整数为1.[答案]13．(2014·南通调研)设实数x，y满足x≥0，y≥0，x＋y≤3，2x＋y≤4，则z＝3x＋2y的最大值是________．[解析]作出可行区域如图所示，在点(1,2)处，z＝3x＋2y取最大值为7.[答案]74．(2014·课标全国卷Ⅱ改编)设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为________．[解析]作出不等式组的可行域，如图阴影部分．作直线x＋2y＝0，向右上方平移，过点A时，z取最大值．由x－y－1＝0，x－3y＋3＝0得x＝3，y＝2，即A(3,2)．∴zmax＝3＋2×2＝7.[答案]75．(2014·无锡调研)已知变量x，y满足条件x≥0，y≤－x＋3，y≥2x，则yx－2的取值范围是________．[解析]可行区域如图所示，yx－2表示可行区域中点和(2,0)连线的斜率，如图，kOM＝0，kAM＝－2，从而yx－2∈[－2,0]．[答案][－2,0]考向1二元一次不等式(组)表示平面区域【典例1】(2014·安徽高考)不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．[解析]不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x＋3y－2＝0，x＋2y－4＝0得A(8，－2)．由x＋y－2＝0得B(0,2)．又|CD|＝2，故S阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.[答案]4【规律方法】1．可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识探求．【变式训练1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，求k的值．[解]由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部．y＝kx＋43恰过A0，43，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx＋43一定过线段BC的中点D，易求C(0,4)，B(1,1)，∴线段BC的中点D的坐标为12，52.因此52＝k×12＋43，k＝73.考向2求目标函数的最值(高频考点)命题视角线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值；(3)求线性规划中的参数．【典例2】(1)(2014·北京高考)若x，y满足y≤1，x－y－1≤0，x＋y－1≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．(2)(2014·福建高考改编)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为________．[思路点拨](1)画出可行域，由于z＝3x＋y即y＝－3x＋z，可知向下平移直线y＝－3x且和可行域有交点时，z变小．(2)画出可行域，数形结合求出b，进而求出x，y，再求a2＋b2.[解析](1)由线性约束条件画出可行域为如图所示的△ABC内部区域(包括边界)．由z＝3x＋y变形得y＝－3x＋z，作直线l：y＝－3x并平移，当直线平移至过点A(0,1)时，z取得最小值，且最小值z＝3×0＋1＝1.(2)作出可行域，如图，由题意知，圆心为C(a，b)，半径r＝1，且圆C与x轴相切，所以b＝1.而直线y＝1与可行域的交点为A(6,1)，B(－2，1)，目标函数z＝a2＋b2表示点C到原点距离的平方，所以当点C与点A重合时，z取到最大值，zmax＝37.[答案](1)1(2)37【通关锦囊】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.注意：转化的等价性及几何意义．【变式训练2】(1)(2014·辽宁高考)已知x，y满足约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．(2)(2014·课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝________.[解析](1)可行域如图阴影部分所示，z＝3x＋4y，即y＝－34x＋z4.将直线y＝－34x向上平行移动，y轴上的纵截距z4越来越大，当经过点B时，z取得最大值，由方程组x－2y＋4＝0，3x－y－3＝0，得x＝2，y＝3，∴B(2,3)，∴z的最大值为zmax＝3×2＋4×3＝18.(2)由约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，作可行域如图：联立x－y＝－1，x＋y＝a，解得x＝a－12，y＝a＋12，∴Aa－12，a＋12.当a＝0时，A－12，12，z＝x＋ay的最小值为－12，不满足题意；当a0时，由z＝x＋ay得y＝－1ax＋za，要使z最小，则直线y＝－1ax＋za在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；当a0时，由图可知，当直线过点A时，直线y＝－1ax＋za在y轴上的截距最小，z最小．此时z＝a－12＋a2＋a2＝7，解得a＝3或a＝－5(舍去)．[答案](1)18(2)3考向3线性规划的实际应用【典例3】(2012·江西高考改编)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，求黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别是多少亩？[解]设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，由题意得x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x，y∈N*.即x＋y≤50，4x＋3y≤180，x，y∈N*.设总利润为z，则z＝x＋0.9y.作可行域如图所示，由x＋y＝50，4x＋3y＝180.得A(30,20)．当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．∴黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时，一年种植的总利润最大．【规律方法】1．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【变式训练3】某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？[解]设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥0，y≥0.目标函数为z＝7x＋12y.作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M时z取最大值．解方程组3x＋10y＝300，x＋5y＝200，得x＝20，y＝24.因此，点M的坐标为(20,24)．∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润.熟记1种方法确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．遵守1个程序利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．做到2个防范1.画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2.求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－abx＋zb的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值．当b＜0时，结论与b＞0的情形恰好相反．思想方法之12线性规划中数形结合思想的应用(2014·浙江高考)若实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1，则x＋y的取值范围是________．[解析]作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3.所以1≤x＋y≤3.[答案][1,3]【智慧心语】