二项式定理十大典型例题配套练习

第1页共8页1二项式定理十大典型例题配套练习.1．二项式定理：，011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。()nab②二项式系数:展开式中各项的系数.rnC(0,1,2,,)rn③项数：共n+1项，是关于与的齐次多项式ab④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。1rrnrrnCab1rnrrrnTCab3．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即.knnknCC②二项式系数和：令,可得二项式系数的和为，1ab0122rnnnnnnnCCCCC变形式。1221rnnnnnnCCCC③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，1,1ab0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。n2nnC如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。n12nnC12nnC⑤系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别()nabx为，设第项系数最大，应有，从而解出来。121,,,nAAA1r112rrrrAAAAr⑥题型一：二项式定理的逆用；第2页共8页2例：12321666.nnnnnnCCCC解：012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC123211221666(666)6nnnnnnnnnnnCCCCCCC0122111(6661)[(16)1](71)666nnnnnnnnCCCC练：1231393.nnnnnnCCCC解：314n题型二：利用通项公式求的系数；nx例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？3241()nxx3453x解：由条件知，即，，解得，由245nnC245nC2900nn9()10nn舍去或，由题意，2102110343411010()()rrrrrrrTCxxCx1023,643rrr解得则含有的项是第项,系数为。3x76336110210TCxx210练：求展开式中的系数？291()2xx9x解：，令,则291821831999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxCxxCxx1839r3r故的系数为。9x339121()22C题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项？2101()2xx解：，令，得，所以52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx52002r8r88910145()2256TC练：求二项式的展开式中的常数项？61(2)2xx解：，令，得，所以666216611(2)(1)()(1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx620r3r3346(1)20TC第3页共8页3练：若的二项展开式中第项为常数项，则21()nxx5____.n解：，令，得.4244421251()()nnnnTCxCxx2120n6n题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项？93()xx解：，令,()得，12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxCx276rZ09r39rr或所以当时，，，3r2746r334449(1)84TCxx当时，，。9r2736r3933109(1)TCxx题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.2321()nxx256n解：设展开式中各项系数依次设为2321()nxx01,,,naaa,则有①，,则有②1x令010,naaa1x令0123(1)2,nnnaaaaa将①-②得：1352()2,naaa11352,naaa有题意得，，。1822562n9n练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。35211()nxx1024解：，，解得0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC121024n11n所以中间两个项分别为，，6,7nn56543551211()()462nTCxxx611561462Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最1(2)2nx567大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是46522,21980,nnnCCCnn714nn或7n第4页共8页4，当时，展开式中二项式系数45TT和34347135()2,22TC的系数434571()270,2TC的系数14n最大的项是，。8T7778141C()234322T的系数练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2()nab解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。2n2112nnTT1n练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？31()2nxx5解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于5152n8n6281()72C练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？7()ab解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有74,5第项的系数最小，系数最大。34347TCab43457TCab练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？791(2)2nx解：由解出,假设项最大，01279,nnnCCC12n1rT12121211(2)()(14)22xx，化简得到，又，，展开式中系1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC9.410.4r012r10r数最大的项为,有11T121010101011121()4168962TCxx练：在的展开式中系数最大的项是多少？10(12)x解：假设项最大，1rT1102rrrrTCx，化简得到，又111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得6.37.3k010r，，展开式中系数最大的项为7r7777810215360.TCxx题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数？25(32)xxx解法①：，，当且仅当时，的展开式中才2525(32)[(2)3]xxxx2515(2)(3)rrrrTCxx1r1rT有x的一次项，此时，所以得一次项为124125(2)3rTTCxxx1445423CCx第5页共8页5它的系数为。1445423240CC解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)xxxxCxCxCCxCxC故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.x4554455522240CxCCxxx练：求式子的常数项？31(2)xx解：，设第项为常数项，则，3611(2)()xxxx1r66261661(1)()(1)rrrrrrrTCxCxx得,,.620r3r33316(1)20TC题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)xxx求展开式中的系数.解：333(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn的展开式的通项是其中342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此.20022111122003434342(1)2(1)2(1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于练：610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.解：436103341261061041(1)(1)mnmnmnmnxCxCxCCxx展开式的通项为0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或.0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为练：2*31(1)(),28,______.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则解：3431()CC,nrnrrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C,C,C,,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；第6页共8页6例：2006(2),,2,_____.xxSxS在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时解：2006123200601232006(2)xaaxaxaxax设=-------①2006123200601232006(2)xaaxaxaxax=-------②3520052006200613520052()(2)(2)axaxaxaxxx①②得2006200620061(2)()[(2)(2)]2xSxxx展开式的奇次幂项之和为320062200620063008122,(2)[(22)(22)]222xS当时题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若31(3)nxxps,则等于多少？272psn解：若，有，，230121(3)nnnxaaxaxaxx01nPaaa02nnnnSCC令得，又,即解得1x4nP272ps42272(217)(216)0nnnn，.216217()nn或舍去4n练：若nxx13的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？64解：令，则nxx13的展开式中各项系数之和为，所以6n，则展开式的常数项为1x264n33361(3)()Cxx.540练：200912320092009120123200922009(12)(),222aaaxaaxaxaxaxxR若则的值为解：2009200912120022009220091,0,2222222aaaaaaxaa令可得20091202200901,1.222aaax