【2014高考一轮数学复习资料精编】第6章 第2讲 一元二次不等式的解法

第1页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学第2讲一元二次不等式的解法第2页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学不同寻常的一本书，不可不读哟！第3页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.第4页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1个重要关系三个二次的关系：一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．第5页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学2种必会方法1.解一元二次不等式时，首先将不等式标准化，再确定相应的方程的根，最后根据图象写出解集.对于Δ0，Δ＝0等特殊情况的解集要从本质上理解．2.解含参的一元二次不等式恒成立问题，一是转化为一元二次不等式解集为R的情况来解，二是分离参变量，转化为最值问题去处理．第6页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学3项必须防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2.解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3.在集合的运算、求函数的定义域时，经常用到解一元二次不等式(组)，此时要注意解集端点值的取舍.第7页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学课前自主导学第8页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1.一元二次不等式的解集“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的解集，可归纳为：第9页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象第10页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c0(a0)________________________ax2＋bx＋c0(a0)________________________若a0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．第11页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学(1)解下列不等式：①2x2＋5x－30的解集为____________．②－3x2－2x＋8≥0的解集为____________．(2)解下列不等式：①2x－13x＋1≤0的解集________．②x＋1x≤2的解集________．第12页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学2．一元二次不等式中的恒成立问题一元二次不等式中的恒成立问题，应结合相应的二次函数图象和方程根的情况(用判别式)，寻找其成立的条件．(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0恒成立的等价条件为a0，Δ0；第13页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c0恒成立的等价条件为a0，Δ0；(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c0解集为∅的等价条件为a0，Δ≤0；(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0解集为∅的等价条件为a0，Δ0；第14页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．第15页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学不等式ax2＋2ax＋4≥0恒成立，对一切x的值，求a的取值范围．第16页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学不等式ax2－x＋2a0的解集为∅，则a的取值范围________.第17页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1.{x|xx1或xx2}{x∈R|x≠－b2a}R{x|x1xx2}∅∅填一填：(1){x|x－3或x12}{x|－2≤x≤43}(2){x|－13x≤12}{x|x0或x≥1}第18页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学2．想一想：提示：a＝0时，4≥0显然成立a≠0时，a0Δ≤0，⇒0a≤4，综上a的值为[0,4]．填一填：[24，＋∞)提示：依题意可知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，当a＝0时，－x≥0不恒成立，故a＝0舍去；当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，第19页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学即f(x)＝ax2－x＋2a的图象不在x轴的下方，∴a0，Δ≤0，即a01－8a2≤0，解得a≥24，即a的取值范围是[24，＋∞).第20页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学核心要点研究第21页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学例1(1)[2012·湖南高考]不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．(2)[2012·重庆高考]不等式x－12x＋1≤0的解集为()A.－12，1B.－12，1第22页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学C.－∞，－12∪[1，＋∞)D.－∞，－12∪[1，＋∞)[解析](1)(x－2)(x－3)≤0,2≤x≤3，∴解集为{x|2≤x≤3}．(2)不等式x－12x＋1≤0等价于x－12x＋1≤0，2x＋1≠0，解得－12x≤1.[答案](1){x|2≤x≤3}(2)A第23页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学奇思妙想：本例(2)变为x－12x＋1≥1，则其解集又如何？解：x－12x＋1－1≥0⇔x＋22x＋1≤0⇔－2≤x－12，所以不等式解集{x|－2≤x－12}．第24页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学解一元二次不等式的一般步骤：(1)变形，使一端为0且二次项系数大于0;(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．第25页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学[变式探究]解下列关于x的不等式：(1)x2－(a2＋a)x＋a30；(2)ax2－(a＋1)x＋10.解：(1)原不等式化为(x－a)(x－a2)0，①当a2－a0，即a1或a0时，原不等式的解为xa2或xa.②当a2－a0，即0a1时，原不等式的解为xa2或xa；第26页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解为x≠a.综上①②③得a1或a0时不等式解集为{x|xa2或xa}当0a1时，不等式解集为{x|xa2或xa}当a＝0或a＝1时，不等式解集为{x|x≠a}．(2)原不等式化为(ax－1)(x－1)0.①当a＝0时，其解为x1；第27页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学②当0a1时，其解为1x1a；③当a1时，其解为1ax1；④当a＝1时，无解；⑤当a0时，不等式化为(x－1a)(x－1)0，其解为x1a或x1.综上所述a＝0时，不等式解集为{x|x1}第28页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学0a1时，不等式解集为{x|1x1a}a1时，不等式解集为{x|1ax1}a0时，不等式解集为{x|x1a或x1}当a＝1时，不等式解集为∅.第29页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学例2(1)[2012·福建高考]已知关于x的不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．(2)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围是________．第30页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学[解析](1)由Δ＝a2－8a0，得0a8.(2)法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a，恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a－1；第31页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，第32页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学[答案](1)(0,8)(2)[－3,1]即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ0，a－1，g－1≥0.解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．第33页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学奇思妙想：本例(1)条件变为“关于x的不等式x2－ax＋2a≤3的解集不是空集”问题不变，该如何解答？解：原不变式变为x2－ax＋2a－3≤0，由Δ≥0，知不等式的解集不是空集，解得a≥6或a≤2.第34页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．2．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.第35页金版教程·高三数学第六章第2讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学[变式探究][2013·唐山检测]设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范