2014届高考数学一轮复习课件：第四章第4课时数系的扩充与复数的引入(新人教A版)解析

第4课时数系的扩充与复数的引入2014高考导航考纲展示备考指南1.理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件是考查重点．2.复数的基本概念如实、虚部，共轭复数，模的几何意义，i的周期性是易错点．3.题型以选择题为主.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.复数的概念(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数,其中i叫作虚数单位,a和b分别叫作它的______和______．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_________________(a，b，c，d∈R)．实部虚部a＝c且b＝da＝c，b＝－d思考探究已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞z2，则a＞c说法正确吗？提示：正确．因为z1，z2至少有一个为虚数时是不能比较大小的，故z1，z2均为实数，即z1＝a，z2＝c，所以z1＞z2，即a＞c.b≠0a＝0a≠0(4)复数的分类a＋bi（a，b∈R）实数：b＝0.虚数：______纯虚数：______.非纯虚数：______.2.复数的几何意义(1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面,横轴叫作实轴，竖轴叫作虚轴．实轴上的点都表示______；除原点外，虚轴上的点都表示_________．(2)复数与点：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(3)复数与向量：复数z＝a＋bi平面向量＝(a，b)(a，b∈R).(4)复数的模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝___________.实数纯虚数a2＋b23.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有：z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝____________．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)课前热身1．(2012·高考福建卷)若复数z满足zi＝1－i，则z等于()A．－1－iB．1－iC．－1＋iD．1＋i解析：选A.由zi＝1－i，得z＝1－ii＝1－iii2＝i－i2－1＝i＋1－1＝－1－i.2．(2013·莆田毕业班教学质量检测)已知a，b是实数，i是虚数单位，若i(1＋ai)＝1＋bi，则a＋b等于()A．0B．1C．2D．－2解析：选A.由于a，b是实数，∴i(1＋ai)＝1＋bi变形为i－a＝1＋bi.∴－a＝1，1＝b，即a＝－1，b＝1.从而a＋b＝0.3．(2012·高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2解析：选A.∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i2＝0.4．i是虚数单位，则11＋i＋i＝________.解析：11＋i＋i＝1－i2＋i＝1＋i2＝12＋12i.答案：12＋12i5．若复数(1＋i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a等于________．答案：1解析：由(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(a＋1)i是纯虚数得1－a＝01＋a≠0，由此解得a＝1.考点探究讲练互动例1考点突破考点1复数的有关概念(1)(2011·高考课标全国卷)复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i(2)(2013·哈尔滨六中模拟)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．－12B．－2C.12D．2【解析】(1)法一：∵2＋i1－2i＝2＋i1＋2i1－2i1＋2i＝2＋i＋4i－25＝i，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.法二：∵2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i1－2i1－2i＝i，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.(2)1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5＝2－a5＋2a＋15i，a为实数，由此复数为纯虚数，可得2－a5＝0，2a＋15≠0，解得a＝2.【答案】(1)C(2)D【题后感悟】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数还可用点Z(a，b)来表示．跟踪训练1．若a1－i＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝__________.解析：∵a，b∈R，且a1－i＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴a＝1－b，0＝1＋b，∴a＝2，b＝－1.∴|a＋bi|＝|2－i|＝22＋－12＝5.答案：5例2考点2复数的运算计算下列各式的值：(1)2i1＋i2；(2)2＋4i1＋i2；(3)1＋i1－i＋i3.【解】(1)2i1＋i2＝4i21＋i2＝－42i＝2i.(2)2＋4i1＋i2＝2＋4i2i＝2－i.(3)1＋i1－i＋i3＝1＋i21－i1＋i＋i3＝2i2＋i3＝i－i＝0.【题后感悟】(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．跟踪训练2．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)(1＋i2)2014＋(1－i2)2014.解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(3)(1＋i2)2014＋(1－i2)2014＝122014[(2i)1007＋(－2i)1007]＝i1007＋(－i)1007＝i3＋(－i)3＝0.例3考点3复数的几何意义已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)．∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知12＋4a－a2＞08a－2＞0，解得2＜a＜6，∴实数a的取值范围是(2,6)．【名师点评】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加、减法的几何意义可按平面向量加、减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．跟踪训练3.如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数，BC→表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数．解：(1)AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.方法感悟1．复数的代数运算(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质等．(2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i、1±i等)的运算，这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧，才能减少运算量，节省运算时间，达到事半功倍的效果．2．复数的几何意义(1)|z|表示复数z对应的点与原点间的距离．(2)|z1－z2|表示两点间的距离,即表示复数z1与z2对应点间的距离.名师讲坛精彩呈现例易错警示因未将复数问题转化为实数问题致误已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.【常见错误】本题易错原因为：①没有全面理解题中所给条件，直接将(x＋y)2理解成实部，3xy理解成虚部处理，②想不到利用待定系数法，③不能将复数问题转化为实数方程求解．【解】设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等得4a2＝4－3a2＋b2＝－6，解得a＝1b＝1或a＝1b＝－1或a＝－1b＝1或a＝－1b＝－1.故所求复数为x＝1＋iy＝1－i或x＝1－iy＝1＋i或x＝－1＋iy＝－1－i或x＝－1－iy＝－1＋i.【防范措施】(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(2)对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此求此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．跟踪训练4．关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为__________．解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，∴3m2－a2m－1＝010－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.答案：11或－715知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放