2017年高考数学试题分项版―解析几何(解析版)

2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A．13B．12C．23D．321．【答案】D【解析】因为F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－y2P3＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝12×|PF|×1＝12×3×1＝32.故选D.2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)2．【答案】A【解析】方法一设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝3＋x|y|＋3－x|y|1－3＋x|y|·3－x|y|＝23|y|x2＋y2－3.又tan∠AMB＝tan120°＝－3，且由x23＋y2m＝1，可得x2＝3－3y2m，则23|y|3－3y2m＋y2－3＝23|y|1－3my2＝－3.解得|y|＝2m3－m.又0＜|y|≤m，即0＜2m3－m≤m，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.方法二当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)3．【答案】C【解析】由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜2.故选C.4．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.5B．22C．23D．334．【答案】C【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组y＝3x－1，y2＝4x，解得x＝13，y＝－233或x＝3，y＝23.∵点M在x轴的上方，∴M(3,23)．∵MN⊥l，∴N(－1,23)．∴|NF|＝1＋12＋0－232＝4，|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为23.故选C.5．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A．63B．33C．23D．135．【答案】A【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b，∴ba＝13，∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63.6．(2017·天津文，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A．x24－y212＝1B．x212－y24＝1C．x23－y2＝1D．x2－y23＝16．【答案】D【解析】根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线y＝bax上.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝bax上，∴ba＝tan60°＝3.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.故选D.7．(2017·浙江，2)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A．133B．53C．23D．597．【答案】B【解析】∵椭圆方程为x29＋y24＝1，∴a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5.∴e＝ca＝53.故选B.8．(2017·全国Ⅰ理，10)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．108．【答案】A【解析】因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－1k，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－1k(x－1)．由y＝kx－1，y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1，所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·2k2＋4k22－4＝41＋k2k2.同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝41＋k2k2＋4(1＋k2)＝41k2＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，取得等号．故选A.9．(2017·全国Ⅱ理，9)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．2339．【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝3.根据点到直线的距离公式，得|2b|a2＋b2＝3，解得b2＝3a2.所以C的离心率e＝ca＝c2a2＝1＋b2a2＝2.故选A.10．(2017·全国Ⅲ理，5)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A．x28－y210＝1B．x24－y25＝1C．x25－y24＝1D．x24－y23＝110．【答案】B【解析】由y＝52x，可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.11．(2017·全国Ⅲ理，10)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．63B．33C．23D．1311．【答案】A【解析】由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b，∴ba＝13，∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63.故选A.12．(2017·天津理，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A．x24－y24＝1B．x28－y28＝1C．x24－y28＝1D．x28－y24＝112．【答案】B【解析】由题意可得ca＝2，即c＝2a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为y－04－0＝x＋c0＋c，化简即得y＝4cx＋4.结合已知条件和图象易知直线PF与y＝bax平行，则4c＝ba，即4a＝bc.由c＝2a，4a＝bc，a2＋b2＝c2，解得a2＝8，b2＝8，故双曲线方程为x28－y28＝1.故选B.二、填空题1．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x2a2－y29＝1(a0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.1．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x2a2－y29＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.2．(2017·北京文，10)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.2．【答案】2【解析】由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝1＋m，故双曲线的离心率e＝ca＝1＋m＝3，∴1＋m＝3，∴m＝2.3.(2017·北京文，12)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则AO→·AP→的最大值为________．3．【答案】6【解析】方法一根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．AO→·AP→＝|AO→|·|AP→|cosθ，|AO→|＝2，|AP→|＝x＋22＋y2，cosθ＝AQAP＝x＋2x＋22＋y2，所以AO→·AP→＝2(x＋2)＝2x＋4.点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．所以AO→·AP→的最大值为2＋4＝6.方法二如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，所以AO→＝(2,0)，AP→＝(cosα＋2，sinα)，AO→·AP→＝2cosα＋4≤2＋4＝6，当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．4．(2017·天津文，12)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．4．【答案】(x＋1)2＋(y－3)2＝1【解析】由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.5.(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．5．【答案】y＝±22x【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝2pb2a2.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，∴y1＋y2＝p，∴2pb2a2＝p，即b2a2＝12，∴ba＝22，∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.6.(2017·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x23－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．6．【答案】23【解析】如图所示，双曲线x23－y2＝1的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，所以|F1F2|＝4.双曲线x23－y2＝1的右准线方程为x＝a2c＝32，渐近线方程为y＝±33x.由x＝32，y＝33x得P32，32.同理可得Q32，－32.∴|PQ|＝3，∴S四边形12FPFQ＝12·|F1F2|