【高优指导】2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图像与性质课件

4.3三角函数的图像与性质考纲要求:1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在内的单调性.-2--π2,π2-3-1.正弦函数的“五点法”作图(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0).(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).-4-2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RR𝑥x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间2𝑘π-π2,2𝑘π+π2(k∈Z)[2kπ-π,2kπ](k∈Z)𝑘π-π2,𝑘π+π2(k∈Z)-5-函数y=sinxy=cosxy=tanx单调递减区间2k𝜋+𝜋2,2k𝜋+3𝜋2(k∈Z)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)无对称中心(kπ,0)(k∈Z)𝑘π+π2,0(k∈Z)𝑘π2,0(k∈Z)对称轴x=kπ+π2(k∈Z)x=kπ(k∈Z)无3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.14-6-4.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均为T=2π|𝜔|;函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=π|𝜔|.-7-234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)y=cosx在第一、二象限内是减函数.()(2)y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.()(3)由是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.()(4)函数y=sinx的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).()(5)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.()sinπ6+2π3=sinπ6知,2π3π2×××××-8-234152.函数y=tanπ4-𝑥的定义域是()A.𝑥𝑥≠π4,𝑥∈RB.𝑥𝑥≠-π4,𝑥∈RC.𝑥𝑥≠𝑘π-3π4,𝑘∈Z,𝑥∈RD.𝑥𝑥≠𝑘π+3π4,𝑘∈Z,𝑥∈R答案解析解析关闭∵x-π4≠kπ+π2,k∈Z,∴x≠kπ+3π4,k∈Z.答案解析关闭D-9-234153.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=cosxB.y=sin2xC.y=tan2xD.y=sin2𝑥-π2答案解析解析关闭选项A,D中的函数均为偶函数,C中函数的最小正周期为π2,故选B.答案解析关闭B-10-234154.函数f(x)=sin2𝑥-π4在区间0,π2上的最小值为()A.-1B.-√22C.√22D.0答案解析解析关闭∵x∈0,π2,∴2x-π4∈-π4,3π4.∴y∈-√22,1.故选B.答案解析关闭B-11-234155.函数y=3cos的单调递增区间是.2𝑥-π4答案解析解析关闭由题意,得-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ(k∈Z),即-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z),故所求函数的单调递增区间是-3π8+𝑘π,π8+𝑘π(k∈Z).答案解析关闭-3π8+𝑘π,π8+𝑘π(k∈Z)-12-23415自测点评1.判断函数周期不能以特殊代一般,只有x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),T才是函数f(x)的一个周期.2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω0时,才能把(ωx+φ)看作一个整体,代入y=sint的相应单调区间求解.3.函数y=sinx与y=cosx的对称轴分别是经过其图像的最高点或最低点且平行于y轴的直线,如y=cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z),而不是x=2kπ(k∈Z).4.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.𝑘π-π2,𝑘π+π2-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1三角函数的定义域、值域例1(1)函数y=的定义域为.√sin𝑥-cos𝑥答案:𝑥2𝑘π+π4≤𝑥≤2𝑘π+5π4,𝑘∈Z解析:(1)(方法一)由题意sinx-cosx≥0,在同一平面直角坐标系中画出在区间[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在区间[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为π4,5π4,故原函数的定义域为𝑥2𝑘π+π4≤𝑥≤2𝑘π+5π4,𝑘∈Z.-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混(方法二)利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),故原函数的定义域为𝑥2𝑘π+π4≤𝑥≤2𝑘π+5π4,𝑘∈Z.(方法三)sinx-cosx=√2sin𝑥-π4≥0,将𝑥-π4视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ≤x-π4≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z.故原函数的定义域为𝑥2𝑘π+π4≤𝑥≤2𝑘π+5π4,𝑘∈Z.-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)函数y=cos2x+2sinx的最大值为.答案解析解析关闭∵y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2sin𝑥-122+32,∴当sinx=12时,ymax=32.答案解析关闭32-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:如何求三角函数的定义域?求三角函数值域的常用方法有哪些?解题心得:1.求三角函数定义域通常解三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图像.2.求三角函数值域、最值的方法有:(1)利用sinx和cosx的值域直接求.(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1(1)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为.(2)函数y=sinx-cosx+sinx·cosx,x∈[0,π]的最值为.(3)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,x∈,则f(x)的最大值为.0,π2√3答案解析解析关闭(1)由题意,得0≤cosx≤1⇒2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z.(2)令sinx-cosx=t,则t=√2sin𝑥-π4,∵x∈[0,π],∴x-π4∈-π4,3π4,∴t∈[-1,√2].又sinxcosx=1-𝑡22,∴y=t+1-𝑡22=-12(t-1)2+1,当t=1时,ymax=1,t=-1时,ymin=-1.(3)由题意,得f(x)=cosx+√3sinx=2sin𝑥+π6.∵x∈0,π2,∴x+π6∈π6,2π3,∴当x+π6=π2,即x=π3时,f(x)取得最大值2.答案解析关闭(1)𝑥2𝑘π-π2≤𝑥≤2𝑘π+π2,𝑘∈Z(2)最大值为1,最小值为-1(3)2-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2三角函数的单调性例2(1)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω0),y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是()√3A.𝑘π-π12,𝑘π+5π12,k∈ZB.𝑘π+5π12,𝑘π+11π12,k∈ZC.𝑘π-π3,𝑘π+π6,k∈ZD.𝑘π+π6,𝑘π+2π3,k∈Z答案解析解析关闭f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin𝜔𝑥+π6.由函数y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,知函数y=f(x)的最小正周期T=π,所以T=2π𝜔=π,解得ω=2.即f(x)=2sin2𝑥+π6.令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).答案解析关闭C-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)已知ω0,函数f(x)=sin𝜔𝑥+π4在π2,π上是减少的,则ω的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2]答案解析解析关闭由π2xπ得π2ω+π4ωx+π4πω+π4,由题意,知π2𝜔+π4,π𝜔+π4⊆2𝑘π+π2,2𝑘π+3π2,k∈Z,∴π2𝜔+π4≥2𝑘π+π2,𝑘∈Zπ𝜔+π4≤2𝑘π+3π2,𝑘∈Z,∴4k+12≤ω≤2k+54,k∈Z,当k=0时,12≤ω≤54,故选A.答案解析关闭A-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:求三角函数单调区间的一般思路是怎样的?已知单调区间如何求参数的范围?解题心得:1.求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先把三角函数式化简成y=Asin(ωx+φ)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.2.已知函数在某区间单调求参数ω的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2(1)已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(-πφπ),若=-2,则f(x)的一个减区间是()fπ8A.-π8,3π8B.π8,9π8C.-3π8,π8D.π8,5π8答案解析解析关闭由fπ8=-2,得fπ8=-2sin2×π8+𝜑=-2sinπ4+𝜑=-2,即sinπ4+𝜑=1.因为|φ|π,所以φ=π4.由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.故f(x)的单调递减区间为𝑘π-3π8,𝑘π+π8(k∈Z).答案解析关闭C-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)若函数f(x)=sinωx(ω0)在区间0,π3上是增加的,在区间π3,π2上是减少的,则ω等于()A.23B.32C.2D.3答案解析解析关闭∵f(x)=sinωx(ω0)过原点,∴当0≤ωx≤π2,即0≤x≤π2𝜔时,y=sinωx是增函数;当π2≤ωx≤3π2,即π2𝜔≤x≤3π2𝜔时,y=sinωx是减函数.由f(x)=sinωx(ω0)在0,π3上单调递增,在π3,π2上单调递减知,π2𝜔=π3,∴ω=32.答案解析关闭B-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混(3)函数f(x)=sin的减区间为.-2𝑥+π3答案解析解析关闭由已知,得f(x)=-sin2𝑥-π3,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin2𝑥-π3的单调增区间.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.故所给函数的单调减区间为𝑘π-π12,𝑘π+5π12(k∈Z).答案解析关闭𝑘π-π12,𝑘π+5π12(k∈Z)类型一求三角函数的周期例3(2015四川,理4)下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx思考:求三角函数的周期的一般思路是什么?A.y=cos2𝑥+π2B.y=sin2𝑥+π2-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3三角函数的奇偶性、周期性、对称性(多维探究)答案解析解析关闭因为y=cos2𝑥+π2=-sin2x,故T=2π2=π.又因为-sin(-2x)=sin2x,所以函数y=-sin2x为奇函数,其图象关于原点对称,故选A.答案解析关闭A-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型二已知三角函数周期性判断对称性例4已知函数f(x)=sin-1(ω0)的最小正周期为,则f(x