哥德巴赫猜想初等证明1

1“哥德巴赫猜想”初等证明王若仲1谭谟玉2彭晓3徐武方1（1.务川自治县实验学校2.务川自治县农业局3.务川中学贵州564300）摘要：“哥德巴赫猜想”确实存在一种最简捷的证明方法，即就是证明存在有“奇素数+奇素数”的情形可以转换到奇素数的个数和奇合数的个数上来加以分析，即通过顺筛和逆筛的办法，从而得到“哥德巴赫猜想”的一种初等证明。关键词：哥德巴赫猜想奇素数奇合数顺筛逆筛哥德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。定义1：我们把即是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。定义2：对于某一偶数2m（m＞2），若a+b=2m，a∈N，b∈N，则称a和b为偶数2m的对应加数，记为2m（a⊕b）。定义3：对于2m（a⊕b），m＞2，m∈N，若a和b中至少有一个数为奇合数，则称a和b为偶数2m的合对子，记为2m（a♀b）。定义4：对于2m（a⊕b），m＞2，m∈N，若a和b均为奇素数，则称a和b为偶数2m的素对子，记为2m（a♂b）。引理1：对于任一正整数M（M＞2），关于某一奇素数p，p＜M，设集合{p，2p，3p，…，mp}中元素个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中元素个数的比值为t，则（1）、当mp=M时，t=1/p；（2）、当mp≠M时，t＜1/p。其中mp为不大于正整数M的最大正整数。证明：因为集合{p，2p，3p，…，mp}有ｍ个元素，集合{1，2，3，24,5,6，…，M}有M个元素，（ⅰ）、当mp=M时，t=m/mp=1/p；（ⅱ）、当mp≠M时，又因为mp为不大于正整数M的最大正整数，那么mp＜M，而t=m/M＜m/mp＝1/p。综上所述，引理1成立。引理2：对于任一奇数M（M＞2），关于某一奇素数p，p≤M，设集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中元素个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素个数的比值为t,则（1）、当（2m-1）p=M时，t＞1/p；（2）、当（2m-1）p+p-1=M时，t＝1/p；（3）、当（2m-1）p+p-1＜M时，t＜1/p；（4）、当（2m-1）p+p-1＞M时，t＞1/p；其中（2m-1）p为不大于正整数M的最大奇数。证明：因为集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}有m个元素,集合{1，3，5，7，9，…，M}有(M+1)/2个元素（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，则(M+1)/2=(2m-1)p/2＜mp,所以t=2m/(M+1)＞1/p；（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，则(M+1)/2=mp，所以t=m/mp=1/p；（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，则(M+1)/2＞mp，所以t=2m/(M+1)＜1/p；（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，则(M+1)/2＜mp，所以t=2m/(M+1)＞1/p。3综上所述，引理2成立。引理3：对于一个相当大的正整数M，关于任一小于正整数M的奇素数p，设集合{p，2p，3p，…，mp}中元素个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中元素个数的比值为t，则t≈1/p（其中mp为不大于正整数M的最大正整数）。证明：对于任一奇素数p，集合{p，2p，3p，…，mp}有m个元素，集合{1，2，3，4,5,6，…，M}有M个无素（ⅰ）、当mp=M时，t=m/mp=1/p；（ⅱ）、当mp≠M时，因为mp为不大于正整数M的最大正整数，那么mp＜M，我们令M=mp+h，那么h＜p，所以mp＜M=mp+h＜（m+1）p，则m/（m+1）p＜t=m/M＜m/mp，因为正整数M相当大，那么正整数m也相当大，故t≈1/p。综上所述，引理3成立。引理4：对于一个相当大的奇数M，关于任一小于奇数M的奇素数p，设集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中元素个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素个数的比值为t，则t≈1/p（其中（2m-1）p为不大于奇数M的最大奇数）。证明：对于任一奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}有m个元素，集合{1，3，5，7，9，…，M}有(M+1)/2个元素（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，(M+1)/2=[mp-（p-1）/2]，因为m/（mp-p）=m/（m-1）p，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，则m/（mp-p）=m/（m-1）p≈1/p，即m/[mp-（p-1）/2]≈1/p，4t≈1/p；（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，(M+1)/2=mp，则t=m/mp=1/p；（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1≤h＜p+1，这是因为（2m-1）p为不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p，则(M+1)/2=[mp+p/2]＜（m+1）p，即mp＜[mp-（p-1）/2]＜（m+1）p，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，m/（m+1）p≈1/p，故t≈1/p；（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1≤h≤p-1，这是因为（2m-1）p为不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p-1，则(M+1)/2=[mp-（p-1）/2]＞（m-1）p，即（m-1）p＜[mp-（p-1）/2]＜mp，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，m/（m-1）p≈1/p，故t≈1/p。综上所述，引理4成立。引理5：对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），那么在区间[M，M]中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi整除。证明：设奇数a为区间[M，M]中的一个奇合数，那么奇数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的积，具体分析如下：（1）、当M=bc，如果b=c，b和c均为素数，那么M=b2=c2；则素数b为不大于M；（2）、当M=bc，如果b=c，b和c均为大于√M的素数，那么M5＜bc，即奇合数bc不可能是区间[M，M]中的一个奇合数，这种情形与已知情形产生矛盾；（3）、当M=bc，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个奇素数因子q小于M；（4）、当M=bc，如果b＞c，b和c均为奇合数，那么奇合数c中必有一个奇素数因子q小于M；（5）、当M=bc，如果b＞c，b和c均为奇素数，那么奇素数c小于M；（6）、设奇数a为区间[M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b=c，b和c均为素数，那么b素数为小于M奇素数；（7）、设奇数a为区间[M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个素数因子p小于M；（8）、设奇数a为区间[M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b≠c，b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设小的一个奇数为素数，则小的一个素数必为小于M的奇素数；（9）、设奇数a为区间[M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b≠c，b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设大的一个奇数为素数，那么小的一个奇数必为奇合数，不妨令小的一个奇数为c，则奇合数c总可以分解为素因子的乘积，其中任何一个素因子必为小于M的奇素数；6（10）、其它情形同理可得出同样的结论。综上所述，引理5成立。引理6：对于一个相当大的奇数M，关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（p≠q），若在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素和筛除属于集合{q，3q，5q，7q，9q，…，（2m´-1）q}中的全体元素，则有下列等式成立：W[1-（1/p+1/q）+1/pq]=W[（1-1/p）-（1-1/p）/q]=W（1-1/p）（1-1/q）。其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，（2m-1）p为不大于奇数M的最大奇数，（2m´-1）q为不大于奇数M的最大奇数。证明：对于一个相当大的奇数M，由引理4可知，关于任一小于奇数M的奇素数g，那么集合{g，3g，5g，7g，9g，…，（2m-1）g}中元素个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素个数的比值约等于1/g，其中（2m-1）g为不大于奇数M的最大正整数；那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（p≠q），若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素和筛除属于集合{q，3q，5q，7q，9q，…，（2m´-1）q}中的全体元素，则有W-（W/p+W/q）+W/pq=W[1-（1/p+1/q）+1/pq]=W[（1-1/p）-（1-1/p）/q]=W（1-1/p）（1-1/q），其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数。故引理6成立。引理7：对于一个相当大的奇数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt7均为不大于M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除全体奇合数，那么只须在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m-1）p1}中的全体元素，筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m-1）p2}中的全体元素，筛除属于集合{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m-1）p3}中的全体元素，…，筛除属于集合{pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2m-1）pt}中的全体元素；并且有下列等式成立：W[1-（1/p1+1/p2+1/p3+…+1/pt）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p1p4+…+1/pt-1pt）-（1/p1p2p3+1/p1p2p4+1/p1p2p5+…+1/pt-2pt-1pt）+…+（-1）t1/p1p2p3…pt-2pt-1pt]=W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）…（1-1/pt-1）（1-1/pt）。其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，（2m-1）p1为不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）p2为不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）p3为不大于奇数M的最大奇数，…，（2m-1）pt-1为不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）pt为不大于奇数M的最大奇数。证明：因为W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）=W[1-（1/p1+1/p2+1/p3）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p2p3）-（1/p1p2p3），又因为在区间[M，M]中的任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi整除，故由引理4和引理5以及引理6可知引理7成立。定义4：对于某一偶数2m，m∈N，m≥4，若p+a=2m，其中p为奇素数，a为奇合数或者1，则称奇素数p为关于偶数2m的虚合数，记为2m（p♀）。定义5：在集合{1，3，5，7，9，…，（M-3），（M-1）}中筛除属8于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素，这种筛除方式，称之为顺筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-1）p为小于偶数M的最大奇数。定义6：在集合{1，3，5，7，9，…，（M-3），（M-1）}中筛除属于集合{（M-p），（M-3p），（M-5p），（M-7p），（M-9p），…，[M-（2m-1）p]}中的全体元素，这种筛除方式，称之为逆筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-1）p为小于偶数M的最大奇数。引理8：设有一个相当大的正整数M，对于任一小于正整数M的奇素数p，集合{p，2p，3p，…，mp}中的元素个数为m，其中mp为不大于正整数M的最大正整数，则m≤M/p。证明：（ⅰ）、当mp=