高中竞赛-电像法+静电场练习题

第一章静电场§镜象法ImageMethodandElectricAxisMethod小结：求空间电场分布的方法•场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。•应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。•间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。•用解析方法直接求解电位微分方程的定解问题常常不是一件容易的事。•基于静电场的唯一性定理，形成间接的求解方法，能把复杂问题等效为简单问题来求解，能使某些复杂问题得到很好地解决。唯一性定理的典型应用之一——镜像法和电轴法•镜像法和电轴法的实质是把实际上分片均匀媒质看成均匀，并在所研究的场域外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布代替实际边界上复杂的电荷分布。只有虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起产生的电场能满足给定的边界条件。镜像法几个实例：qq′非均匀感应电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷q′等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代边值问题：（导板及无穷远处）（除q所在点外的区域）（S为包围q的闭合面）s2qd00SD1.平面导体的镜像镜像法最简单的例子：接地无限大导体平面上方一个点电荷，根据唯一性定理，导体平面上半空间的电为分布应满足：qq′等效电荷镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。（除q所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S为包围q的闭合面）0r4qr4q0002sqdSD上半场域边值问题：点电荷对无限大平面导体边界的镜像等效问题：要求：与原问题边界条件相同原电荷：q（d，0，0）镜像电荷(等效电荷):-q（-d，0，0）(在求解域外)取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。dd例1求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况。q（方向指向地面）EEEpcos20pr4q2E23220xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(例1求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况。q解:设点电荷离地面高度为h，则q整个地面上感应电荷的总量为xdx2xh2qhdS02322Sp/)(02122xh1qh/)(q2.导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)边值问题：（除q点外的导体球外空间)000r2导球面0r4qr4q2010p'2)设镜像电荷-q位于球内,球面上任一点电位为:coscosRb2RbrRd2Rdr2222210cos)'(2)](')([22222222bqdqRRdqRbq0bqdq0RdqRbq22222222')(')(qdRqdbqdRb2'0r4qr4q2010p'由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为2010pr4qr4q')(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷的作用等于负的感应电荷的作用例2试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分布。在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解:边值问题：(除q点外的导体球外空间）0d000Ssr2SD常数球面(S为球面面积)qdprr1r2+q'-q'Rob例2试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分布。任一点电位及电场强度为：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeE感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。S,0dSD正负镜像电荷绝对值相等。0,constS正镜像电荷只能位于球心。qdprr1r2+q'-q'Rob不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷吗?为什么？q镜像法小结镜像法的理论基础是静电场唯一性定理；镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置；应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。镜像法小结:什么情况下能用镜像法分析？1.点电荷和无限大平面导体等效问题：要求：与原问题边值问题相同原电荷：q，距离h镜像电荷(等效电荷):-q距离-h(在求解域外)取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。2.点电荷和接地导体球qdRqdbqdRb2'q点电荷附近接地导体球的影响可用镜像电荷（-q′）代替感应电荷，其中位置与电荷量为：3.点电荷和两种不同介质平面分界面S的上下半空间充满介电常数为1和2的均匀介质，在上半空间距S为h处有一点电荷q，求空间的电场设上半空间电位为1，下半空间电位为2，根据唯一性定理，1和2应满足：012022（2）当r→∞，1→0，2→0（1）（3）分界面S上的衔接条件nn221121hq′镜像系统为：上半空间由原来电荷q和在像点的像电荷q′所产生（介电常数1冲满整个空间）211141rqrqr1r2镜像系统为：下半空间由原来电荷q处的像电荷q″所产生（介电常数2冲满整个空间）11241rqr1在r1=r2处，由条件（3），可得2111qqq211141rqrqnn221121hq′q″211141rqrqnn22112111241rqqqq2111qqqq'q2121q2''q212和练习题.Q例求接地导体球面上的总感应电荷qa2aOQ.Q例求接地导体球面上的总感应电荷10O42qqUa在点的点位qa2aOQ1200004242oUUUqQqQaa球心处电位200O44edSQUaa感应电荷在点的点位例2.如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为λ的长直线，求AB两点间的电势差。＋λBA60。Eｒｌｄθ例2.如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为λ的长直线，求AB两点间的电势差。解：2222EE•EU0AB00BABAABBABAｌｎ＝ｒｒｌｎ＝ｄｒｒ＝ｄｒ＝ｄｌｃｏｓ＝ｌｄ＝ｒｒｒｒπελπελπελθ∫∫∫∫＋λBA60。Eｒｌｄθ例题3:已知两杆电荷线密度为,长度为L,相距L.求两带电直杆间的电场力.qdxxqdL3L2LxO例题3:已知两杆电荷线密度为,长度为L,相距L.求两带电直杆间的电场力.解:qdxxxqddxqddqd20)(4dddxxxxFLLLxxxxF320202)(4dd34ln402L3L2LxO例题4.球形金属空腔内外半径ab，带电Q，腔内点电荷q，距球心ra。求球心O点电位。例题4.球形金属空腔内外半径ab，带电Q，腔内点电荷q，距球心ra。求球心O点电位。解：内壁-q，外壁q+Qrq041041bQbarq004)111(4aSaaS04dbSbbS04d)(bQqaqrqQqqqoUUUU思考：电荷在内壁和外壁上的分布均匀吗？对球心处电位有何影响？例题5.A、B为平行的无限大带电导体板，面密度分别为A和B，静电平衡时四个面上的电荷分布。例题5.A、B为平行的无限大带电导体板，面密度分别为A和B，静电平衡时四个面上的电荷分布。解：高斯定理E=E2S=0=S(2+3)/02=-3P点:1=4又1+2=A,3+4=B解得1=4=(A+B)/22=-3=(A-B)/20)(2143210E例题6:一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角。证明：当时，该电容器的电容为：abb2a1baC2oabxdxb+xsin例题6:一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角。证明：当时，该电容器的电容为：abb2a1baC2o忽略边缘效应ab证明：整体不是平行板电容器但在小块面积adx上，可认为是平行板电容器,其电容为：xdxsinxbadxdCodSC𝐶=𝑑𝐶=𝜀𝑜𝑎𝑑𝑥𝑏+𝑥sin𝜃𝑎𝑜=𝜀𝑜𝑎sin𝜃ln(1+𝑎𝑏sin𝜃)b+xsinabxdxdSCdCCaoosinxbadx)sinba1ln(sinaoababsin1sinba则：2)sinba(21sinba)sinba1ln()sinba211(baC2o)b2a1(ba2o证毕b+xsin电容器电容求解1r2r例7.平行板电容器极板面积为S，板间距为d，相对介电常数为的两种电介质各充满板间的一半，如图，（1）此电容器带电后，两介质所对应的极板上自由电荷面密度是否相等？（2）求其电容。2r1r、1r2r解：（1）设极板间的电势差为V，由介质中的高斯定理得：例7.平行板电容器极板面积为S，板间距为d，相对介电常数为的两种电介质各充满板间的一半，如图，（1）此电容器带电后，两介质所对应的极板上自由电荷面密度是否相等？（2）求其电容。2r1r、dVED1r01r011dVED2r02r02221（2）d2)(SV)dVdV(2SV2S2SVQC2r1r02r01r021例8.一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度，求：顶角O的电势。（以无穷远处电势为零点）θooR1R22204ddxrqU01202)(d2tan2d21RRxUUxxlrSd2dlrSqd2dd解：xx1x2θR1R2dxdlroxxUd22tand02204d2xrlr2tanxr2cos/ddxlrUd2d001202)(d2d21RRrUURRxx1x2dxdlθroR1R2另解：选择积分元为rd2204d2dxrlrU2tan/rx2sin/ddrlrd例9如图，在一电荷体密度为r的均匀带电球体中，挖出一个以O'为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的位置矢量用表示．试证球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为a03EaO'Oar证明：(1)求半径为R、体电荷密度为ρ的均匀带电球体内的电场强度．以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为24essEdSEdSrE根据高斯定理0/qe204qEr＝QRr03rE＝当场点在球体内时343qrrR03rE＝24essEdSEdSrE根据高斯定理0/qe204qEr＝当场点在球体内时rRQRr当场点在球体外时rR3203REr＝03rE＝03rE＝343qR3203rREer＝3