2016届辽宁省实验中学高三第四次模拟数学(文)试题(解析版)

第1页共17页2016届辽宁省实验中学高三第四次模拟数学（文）试题一、选择题1．已知集合22|23,|02xAxyxxBxx,则AB（）A．1,1B．2,1C．1,2D．1,2【答案】B【解析】试题分析：,12,,2,2,2,1ABAB.【考点】一元二次不等式、分式不等式、集合交集．【易错点晴】定义域是被开方数不小于零，分式不等式要注意分母不为零.集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．“1m”是“函数2log1fxmxx不存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：“函数2log1fxmxx不存在零点”即2log,0mxm，故是充分不必要条件.【考点】充要条件．3．已知i为虚数单位,aR,若2iai为纯虚数,则复数22zai的模等于（）A．2B．11C．3D．6【答案】C【解析】试题分析：22221(2)1,210,12iaiiaaiaaaiaiaia，123zi.【考点】复数的概念．4．已知函数212log2218,fxxaxaR,若fx在,a上为减函数,则a的取值范围为（）A．,2B．4,23C．,1D．4,13【答案】D第2页共17页【解析】试题分析：令22218,0gxxaxgx，对称轴为21,1xaaa.另一方面，2422180,,23gaaaaa，综上所述，4,13a.【考点】函数的单调性．5．312,1,1,2,,55ABC,动点,Pab满足02OPOA,且02OPOB，则动点P到点C的距离大于14的概率为（）A．5164B．564C．116D．16【答案】A【解析】试题分析：依题意有022022abab，目标函数22311554ab，即以31,55C为圆心，半径为14的圆外.画出可行域如下图所示，圆外面积为4516，故概率为4551614645.【考点】几何概型．6．已知某几体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形半圆构成,府视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为（）第3页共17页A．2132B．4136C．2166D．2132【答案】C【解析】试题分析：该几何体是一个半球和一个三棱锥，故体积为32212132666.【考点】三视图．7．已知7tan2,,666,则23sincos3cos2222（）A．255B．55C．55D．255【答案】C【解析】试题分析：1tantan3262，3在第二象限，23sincos3cos2222可化为13sincossin223，故5sin35.【考点】三角函数恒等变换．8．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩,图的算法框图中输入的1a为茎叶图中如图所示学生成绩,则输出,mn分别是（）第4页共17页A．38,12mnB．26,12mnC．12,12mnD．24,10mn【答案】B【解析】试题分析：有程序框图可知m为小于80且大于等于60的数量，一共有26，n为大于等于80的数量，一共有12.【考点】算法与程序框图．9．已知点0,1A,曲线:lnCyax恒过定点,BP曲线C上的动点且APAB的最小值为2,则实数a（）A．2B．1C．2D．1【答案】D【解析】试题分析：依题意1,0B，设00,lnPxax，0000,ln11,11ln2APABxaxxax，即001ln0xax，构造函数1ln0,10fxxaxxf，'1axafxxx，若0a，则'0fx，函数单调递增，不符合题意.当0a是，函数在0,a单调递减，,a单调递增，在点xa取得极小值也是最小值，注意到10f，则需1a时，符合题意．【考点】函数与导数．第5页共17页10．已知正项数列na的前n和为nS,若na和nS都是等差数列,且公差相等,则6a（）A．114B．32C．72D．1【答案】A【解析】试题分析：111naanddnad，2122nddSnan，1121,2SaSad，依题意112adad，110,22dada，解得1611111,,5424adaad.【考点】等差数列的基本概念．11．已知双曲线222210,0xyabab的两顶点为12,AA,虚轴两端点为12,BB,两焦点为12,FF,若以12,AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB,则双曲线的离心率为（）A．152B．352C．122D．322【答案】A【解析】试题分析：根据面积，有221122bcbca，化简得422430caca，两边除以4a，得43310ee，解得23515,22ee.【考点】双曲线离心率．【思路点晴】由于“以12,AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB,”故圆的半径为a，菱形的对角线相互垂直平分，故可以计算其中一个直角三角形的面积，由此建立方程221122bcbca，两边平方并消去b可以得到422430caca，两边除以4a，得43310ee，然后第一步只能求出2352e，两边开方可得152e.12．设函数333,2xxfxexxaexx,若不等式0fx有解,则实数a的最小值为（）A．21eB．22eC．212eD．11e【答案】D【解析】试题分析：3330,2xxfxexxaexx有解，分离参数得第6页共17页333xxexxxae，令333xxexxxFxe，令'0Fx，解得1x，故1111eFxFee.【考点】函数导数与不等式．【思路点晴】3330,2xxfxexxaexx有解，分离参数得333xxexxxae，令333xxexxxFxe，利用导数可以求得函数Fx的单调区间、极值和最值.由此求得1111eFxFee.恒成立问题往往有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接讨论法，但是直接讨论往往比较复杂.二、填空题13．若正实数,xy满足115xyxy,则xy的最大值是．【答案】4【解析】试题分析：1145xyxyxyxyxyxyxy，令xyt，2540,1,4ttt，故xy最大值为4.【考点】基本不等式．14．已知实数,,,abcd成等比数列,对于函数lnyxx,当xb时取到极大值c,则ad．【答案】1【解析】试题分析：'111xyxx，故1,1bc，,1,1,ad，1ad.【考点】数列、导数与极值．15．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623,所以36的所有正约数之和为第7页共17页22222222133223232232312213391,参照上述方法,可求得100的所有正约数之和为．【答案】217【解析】试题分析：2210025，故正约数之和为22122155217.【考点】合情推理与演绎推理．【思路点晴】合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类.16．若对120,2,1,2xx,使22111121214ln348160xxxxxaxxx成立,则实数a的取值范围．【答案】1,8【解析】试题分析：问题转化为2221113844ln16axxxxx，令34ln16,0,2fxxxxx，利用导数可求得其最大值114f.令284,1,2gxaxxx，问题等价于maxmaxgxfx，利用导数可求得gx的最大值216161gaa，即可得出1161614,,8aa.【考点】函数导数与不等式．【思路点晴】恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．三、解答题17．已知fxab,其中2cos,3sin2,cos,1,axxbxxR.（1）求fx的单调递增区间；（2）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,71,2fAa,且向量3,sinmB与2,sinnC共线,求边长b与c的值.第8页共17页【答案】（1）2,36kkkZ；（2）3,12bc【解析】试题分析：（1）化简fx得12cos23fxx，代入2,2kkkZ，求得增区间为2,36kkkZ；（2）由1fA求得3A，余弦定理得22222cos3abcbcAbcbc.因为向量3,sinmB与2,sinnC共线,所以2sin3sinBC,由正弦定理得23bc，解得3,12bc.试题解析：（1）由题意知,22cos3sin21cos23sin212cos23fxxxxxx,cosyx在2,2kkkZ上单调递增,令2223kxk,得236kxk,fx的单调递增区间2,36kkkZ.（2）12cos21,cos2133fAAA,又72,23333AA,即3A.72a,由余弦定理得22222cos3abcbcAbcbc.因为向量3,sinmB与2,sinnC共线,所以2sin3sinBC,由正弦定理得323,,12bcbc.【考点】三角函数恒等变形、解三角形．18．某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考察项目,分别记：①②③④⑤.第9页共17页（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示）,并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人