2016届高考数学(文)一轮复习专题课件：第3章+第4讲+简单的三角恒等变换

第4讲简单的三角恒等变换第三章三角函数、解三角形考点一三角函数式的化简考点二三角函数式的求值(高频考点)考点三三角恒等变换的简单应用考点一三角函数式的化简化简：(1)（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)1tanα2－tanα2·(1＋tanα·tanα2)．[解](1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20.所以原式＝－cosθ.(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.[规律方法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．1.化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小，高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．考点二三角函数式的求值(高频考点)(1)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B．12C.32D．－32(2)(2015·黑龙江哈三中第四次月考)已知tan2θ＝－22，π2θ2π，化简2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4＝________．B3＋22[解析](1)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β＝________．－3π4(2)原式＝cosθ－sinθcosθ＋sinθ＝1－tanθ1＋tanθ.∵2θ∈(π，2π)，∴θ∈π2，π.而tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，∴2tan2θ－tanθ－2＝0,即(2tanθ＋1)(tanθ－2)＝0.故tanθ＝－22或tanθ＝2(舍去)．∴1－tanθ1＋tanθ＝1＋221－22＝3＋22.(3)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4.[规律方法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．2.(1)已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝()A．－255B．－3510C．－31010D.255A(2)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2(3)sin250°1＋sin10°＝________．B12解析：(1)∵tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，∴tanα＝－13，∵－π2α0，∴sinα＝－1010，2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinα（sinα＋cosα）22（cosα＋sinα）＝22sinα＝22×－1010＝－255.(2)法一：由tanα＝1＋sinβcosβ，得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α.∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α－β∈－π2，π2，π2－α∈0，π2，∴由sin(α－β)＝sinπ2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tanα＝1＋sinβcosβ＝1＋cosπ2－βsinπ2－β＝2cos2π4－β22sinπ4－β2cosπ4－β2＝cosπ4－β2sinπ4－β2＝sinπ4＋β2cosπ4＋β2＝tanπ4＋β2，∴α＝kπ＋π4＋β2，k∈Z，∵α，β∈0，π2，∴α＝π4＋β2，∴2α－β＝π2.(3)sin250°1＋sin10°＝1－cos100°2（1＋sin10°）＝1－cos（90°＋10°）2（1＋sin10°）＝1＋sin10°2（1＋sin10°）＝12.考点三三角恒等变换的简单应用已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．[解](1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.所以f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.由x∈π12，π2，得2x＋π4∈5π12，5π4.∴－22≤sin2x＋π4≤1，∴0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12.[规律方法](1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为关于正切tanα的关系式，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx的式子化为y＝Asin(x＋φ)，在本章中可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(下两节讲解)3.已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0φπ2，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，∴sin2θ＝45.又∵θ∈0，π2，∴sinθ＝255，cosθ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝12.又∵0φπ2，∴cosφ＝22.方法思想——三角函数式的化简(一题多解)化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β.[解]法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β＋cos2αsin2β＋cos2βsin2α－12＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β(sin2α＋cos2α)－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.法二：原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2α·cos2β＝12＋12cos2α·cos2β－12cos2α·cos2β＝12.法三：原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－12cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2α·cos2β＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2α·cos2β＝cos2β－cos2βsin2α＋12cos2α＝1＋cos2β2－cos2β·sin2α＋12（1－2sin2α）＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.[名师点评]本题给出了三种不同方法，其解题思路是异角化同角，复角化单角，异次化同次等，化简要求是项数尽量少，次数尽量低，函数种类尽量少，能求值的必须求出函数值，数值结果也要化为最简形式．本题若是选择题或填空题，可令α＝β＝0，此题即可解决．已知cosπ4＋x＝35，若1712πx74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解：法一：由1712πx74π，得53πx＋π42π.又cosπ4＋x＝35，所以sinπ4＋x＝－45，所以cosx＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4＝35×22－45×22＝－210.从而sinx＝－7210，tanx＝7.则sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2－7210·－210＋2－721021－7＝－2875.法二：由法一得tanπ4＋x＝－43.又sin2x＝－cosπ2＋2x＝－cos2π4＋x＝－2cos2π4＋x＋1＝－1825＋1＝725.则sin2x＋2sin2x1－tanx＝sin2x＋2sin2x1－sinxcosx＝sin2xcosx＋2sin2xcosxcosx－sinx＝sin2x（sinx＋cosx）cosx－sinx＝sin2x·1＋tanx1－tanx＝sin2x·tanx＋π4＝725×－43＝－2875.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放