2017年高考真题 理科数学 (北京卷)

理科数学2017年高三2017年北京卷理数理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。）1.若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=A.{x|–2x–1}B.{x|–2x3}C.{x|–1x1}D.{x|1x3}2.若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A.(–∞，1)B.(–∞，–1)C.(1，+∞)D.(–1，+∞)3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.2B.C.D.4.若x，y满足x≤3，x+y≥2，则x+2y的最大值为y≤x，A.1B.3C.5D.95.已知函数，则A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数6.设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A.3B.2C.2D.28.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.1093填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）9.若双曲线的离心率为，则实数m=_______________.10.若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=__________.11.在极坐标系中，点A在圆，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为____.12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若，=____.13.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科&网分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）15.在△ABC中，=60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.(I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。17.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）18.已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.19.已知函数f(x)=excosx−x.（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.20.设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．答案单选题1.A2.B3.C4.D5.A6.A7.B8.D填空题9.210.111.112.13.，，14.①②简答题15.(1)(2)16.(1)见解析(2)（3）17.(Ⅰ)(Ⅱ)1（Ⅲ）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大18.(1)抛物线焦点为，准线方程为(2)略19.(Ⅰ)(Ⅱ)时，有最大值；时，有最小值20.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析解析单选题1.集合与集合的公共部分为，故选A．2.，对应的点在第二象限，解得：故选B．3.当时，成立，进入循环，此时，；当时，成立，继续循环，此时，；当时，成立，继续循环，此时，；当时，不成立，循环结束，输出．故选C．4.设，则，由下图可行域分析可知，在处取得最大值，代入可得，故选D．5.奇偶性：的定义域是，关于原点对称，由可得为奇函数．单调性：函数是上的增函数，函数是上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即是上的增函数．综上选A6.由于，是非零向量，“存在负数，使得．”根据向量共线基本定理可知与共线，由于，所以与方向相反，从而有，所以是充分条件。反之，若，与方向相反或夹角为钝角时，与可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知”是“”的充分不必要条件，所以选A．7.如下图所示，在四棱锥中，最长的棱为，所以，故选B．8.由于，所以，故选D．填空题9.∵双曲线的离心率为∴∴∵，，∴10.∵是等差数列，，，∴公差∴∵为等比数列，，∴公比∴故11.把圆改写为直角坐标方程，化简为，它是以为圆心，1为半径的圆。画出图形，连结圆心与点，交圆于点，此时取最小值，点坐标为，．12.∵因为角和角的终边关于轴对称∴，∴13.由题意知，，均小于，所以找到任意一组负整数，满足题意即可．14.①设线段的中点为，则，其中．因此只需比较，，三个点纵坐标的大小即可．②由题意，，，故只需比较三条直线，，的斜率即可．简答题15.（1）由正弦定理得：（2）为锐角由得：又16.（1）取、交点为，连结．∵面面面面∴在中，为中点∴为中点（2）方法一：取中点为，中点为，连结，∵，∴又面面面面∴面以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标可知，，，易知面的法向量为且，设面的法向量为可知∴由图可知二面角的平面角为锐角∴二面角大小为方法二：过点作，交于点，连结∵平面，∴，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，可求得∴（3）方法一：点，∴由（2）题面的一个法向量设与平面所成角为∴方法二：记，取中点，连结，，取中点，连，易证点是中点，∴∵平面平面，，∴平面∴平面连结，，∴∵，，，由余弦定理知∴，∴设点到平面的距离为，又，求得记直线与平面所成角为∴17.（1）50名服药者中指标的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标的值小于60的概率为（2）的可能取值为：0，1，2，，012（3）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。18.（1）由抛物线过点，代入原方程得，所以，原方程为．由此得抛物线焦点为，准线方程为．（2）法一：∵轴设，根据题意显然有若要证为中点只需证即可，左右同除有即只需证明成立其中当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零．设直线联立有，考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以．由韦达定理可知：……①，……②将①②代入上式，有即，所以恒成立∴为中点，得证．法二：当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零．设为点，过的直线方程为，设，显然，均不为零．联立方程得，考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以．由韦达定理可知：……①，……②由题可得横坐标相等且同为，且，在直线上，又在直线：上，所以，若要证明为中点，只需证，即证，即证，将代入上式，即证，即，将①②代入得，化简有恒成立，所以恒成立，所以为中点．19.（Ⅰ）∵∴∴∴在处的切线方程为，即．（Ⅱ）令∵时，∴在上单调递减∴时，，即∴在上单调递减∴时，有最大值；时，有最小值．20.（Ⅰ）易知，，且，，．∴，，．下面我们证明，对且，都有．当且时，∵且，∴．因此，对且，，则．又∵，故对均成立，从而为等差数列．（2）设数列与的公差分别为，，下面我们考虑的取值．对，，…，，考虑其中任意项（且），下面我们分，，三种情况进行讨论．（1）若，则①若，则则对于给定的正整数而言，此时，故为等差数列．②若，则则对于给定的正整数而言，．此时，故为等差数列．此时取，则是等差数列，命题成立．（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．故必存在，使得当时，则当时，（，）．因此，当时，．此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．（3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．故必存在，使得当时，则当时，（，）因此，当时，．此时令，，下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．①若，则取（表示不大于的最大整数）当时，，此时命题成立．②若，则取当时，．此时命题也成立．因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，．综合以上三种情况，命题得证．