高三寒假复习讲义第8章 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质

高三寒假复习讲义第4讲直线、平面垂直的判定与性质考点垂直的判定与性质知识点1直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.3平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如下图所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.4平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如下图所示．符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.注意点斜线在平面上的射影的理解斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段.入门测1．思维辨析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.()(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′答案B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.3．m，n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中，所有真命题的编号是________．答案①④解析①中，由n∥β，α∥β得n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故①正确；②中，也可能n⊂β，故②错误；③中，直线n也可能与平面β斜交或平行，也可能在平面β内，故③错；④中，由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，又α∥β可得n⊥β，故④正确．[考法综述]本考点在高考中多次出现，考题模式主要有三类：①直线与平面垂直的判定与证明；②利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直；③利用定义求直线与平面所成的角和二面角．命题法证明线、面垂直问题典例(1)设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：①PA⊥底面ABCD；②BE∥平面PAD；③平面BEF⊥平面PCD.[解析](1)对于A，若l∥α，l∥β，则α，β可能相交；对于B，若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β.选项C，l可能平行于β或l在平面β内；选项D，l还可能平行于β或在平面β内．(2)证明：①因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.②因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.③因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由①知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.又因为CD⊂面PCD.所以平面BEF⊥平面PCD.[答案](1)B(2)见解析【解题法】线面垂直、面面垂直的证法及三种垂直关系的转化(1)线面垂直的证法①利用线面垂直的判定定理．②利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．④利用面面垂直的性质定理．(2)面面垂直的证法①用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．②用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．(3)垂直问题的转化关系1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案D解析由l1⊥l2，l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定，若l1∥l3，则结合l3⊥l4，得l1⊥l4，所以排除选项B、C，若l1⊥l3，则结合l3⊥l4，知l1与l4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P－ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值．解(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.(2)由已知，PD是阳马P－ABCD的高，所以V1＝13SABCD·PD＝13BC·CD·PD；由(1)知，DE是鳖臑D－BCE的高，BC⊥CE，所以V2＝13S△BCE·DE＝16BC·CE·DE.在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝22CD，于是V1V2＝13BC·CD·PD16BC·CE·DE＝2CD·PDCE·DE＝4.3．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．解(1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝3，又因为OC⊥平面VAB，所以VC－VAB＝13OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为33.4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为362，求a的值．解(1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由题图1知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝13×S×A1O＝13×a2×22a＝26a3，由26a3＝362，得a＝6.5．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋25.6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当三棱锥M－BCD的体积等于34时，求PB的长．解(1)证明：因为在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PB，又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以OM∥平面PAB.(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.(3)因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以VM－BCD＝12VM－ABCD＝14VP－ABCD，故VP－ABCD＝3.又AB＝2，∠BAD＝60°，所以S四边形ABCD＝23.因为四棱锥P－ABCD的高为PA，所以13×23×PA＝3，得PA＝32，因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.在Rt△PAB中，PB＝PA2＋AB2＝322＋22＝52.7．如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12.(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P－ABMO的体积．解(1)证明：如图，连接OB，因为ABCD为菱形，O为菱形的中心，所以AO⊥OB.因为∠BAD＝π3，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sinπ6＝1，又因为BM＝12，且∠OBM＝π3，所以在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋122－2×1×12×cosπ3＝34.所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM，即OM⊥BC.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2·cosπ6＝3.设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.又△POM也是直角三角形，