高中数学选修2-3-组合

11.2.2组合(一)【学习要求】1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．【学法指导】组合研究的问题与排列是平行的，两者的区别是有无“顺序”．学习中可和排列相比较，领悟概念的本质，组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.1．组合：一般地，从n个不同元素中，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．2．组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．3．组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝＝(n，m∈N*，m≤n).4.组合数的两个性质探究点一组合的概念问题1从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动，有多少种不同选法？问题2问题1和“从3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动”有何区别？问题3排列与组合有什么联系和区别？例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？跟踪训练1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？(2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？(3)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？探究点二组合的列举问题问题怎样写一个问题的所有组合？例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．跟踪训练2写出从A，B，C，D，E5个元素，依次取3个元素的所有组合．2探究点三组合数公式及应用问题1由例2看出组合数C34与排列数A34有什么关系？你能写出求Cmn的公式吗？例3(1)求值：C5－nn＋C9－nn＋1；(2)若C4nC6n，则n的取值集合为________．跟踪训练3(1)计算：C38－n3n＋C3nn＋21的值．(2)求证：Cmn＝m＋1n－m·Cm＋1n.题型四组合数的简单应用例4一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？跟踪训练4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？题型五隔板法的简单应用例5．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？课堂练习：1．已知C2n＝10，则n的值等于()A．10B．5C．3D．22．如果A3m＝6C4m，则m等于()A．6B．7C．8D．93．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？3③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中是组合问题的个数是()A．0B．1C．2D．34．下列等式不正确的是()A．Cmn＝n！m！(n－m)！B．Cmn＝Cn－mnC．Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1D．Cmn＝Cm＋1n＋15．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种_____种．(结果用数值表示)课后作业：1．下列计算结果为21的是()A．A24＋C26B．C77C．A27D．C272．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④3．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3B．4C．12D．244．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．A310种B．C310种C．C310A310种D．30种5．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种6．组合数Crn(nr≥1，n、r∈Z)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1D.nrCr－1n－17．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2}．若集合M满足BMA，则这样的不同的集合M共有()A．12B．13C．14D．158.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243个B．252个C．261个D．279个9.将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有()A．18种B．24种C．30种D．36种10．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种11.从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有______种．412．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.13．已知集合A＝{0,2,4,6,8}，从集合A中取出两个元素组成集合B，试写出所有的集合B.14.第21届世界杯足球赛将于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？15.要从12个人中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)A，B，C三人必须当选；(2)A，B，C三人不能当选；(3)A，B，C三人中只有一人当选．16．一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？1.2.2组合(二)【学习要求】1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．2．能解决有限制条件的组合问题．【学法指导】学习本节注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题．1．若集合M＝{x|Cx7≤21}，则组成集合M的元素的个数为()A．1B．3C．6D．752．(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有________条；(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有________条．3．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系：(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出2名担任班长和团支部书记．题型一简单的组合应用题例1某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？跟踪训练17名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)题型二有限制条件的组合问题例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？跟踪训练2某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？题型三与几何有关的组合应用题例3(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．跟踪训练3(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？6（3）.如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有____个．题型四分组与分配问题例4有6本不同的书．(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？跟踪训练4三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种题型五多面手问题例5车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法．跟踪训练5．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划．现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，有多少种不同的选法？课堂练习：1．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A．5040B．36C．18D．202．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A．25种B．35种C．820种D．840种3．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．(用数字作答)4．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．课后作业1．凸十边形的对角线的条数为()A．10B．35C．45D．902．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝0,1,2,3,4)，与平行直线y＝n(n＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．100个C．36个D．200个73．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．484．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．4845．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有___种．6．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．7．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A．60种B．20种C．10种D．8种8．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配