定积分概念与性质

定积分问题举例一.,],[)(上非负连续在设baxfy0.,ybxax求由直线所围成的图形的面积及曲线)(xfy曲边梯形的面积.1)(xfyx0aby定积分概念与性质把区间分成个小区间个小区间长度为第iyxixab1ix个分点在区间中任意插入若干分割),2,1(,1nixxxiii],[],,[],,[12110nnxxxxxxbxxxxan210)(if1ixixi,iAi个小曲边梯形的面积近似代替第),3,2,1()(nixfAiii,i点在每个小区间上任取一),2,1(],[1nixxiii取近似)(if1ixixiiixfi)(个小矩形的面积用第即求和niiiniiAxf11)(求小矩形面积和取极限当区间长度中最大值iniixfA)(lim102.变速直线运动的路程上的非负连续函数，],[21TT时0}{max1inix动，设某物体作变速直线运经过的求物体在这段时间内所S路程是时间间隔已知速度)(tV（1）分割内任意插入若干个分点在时间间隔],[21TT1iiittt别为每个小时间段的长度分变量，若V02)(12TTVS则路程为个小时间段分成把nTT],[21],[],,[],,[12110nntttttt22101TttttTn常量，若V01则可通过下面的步骤（2）取近似][1iiitt在每个小时间段上任取各点的速度),2,1()(nitVsiii上来近似代替时的速度以],[)(1iiiittV小时间段的路程为则第个i分割，取近似，求和，取极限}){()(lim110iniiniitmxatVS(3)求和（4）取极限得路程的近似值路程相加，将每个小时间段所走的),,3,2,1()(11nitVSSiniinii二.定积分的定义个小区间分成把区间nba],[为各个小区间的长度依次b]上有界，,设函数f(x)在[a1122011,,,nnnxxxxxxxxx],[],,[],,[12110nnxxxxxxban1n210xxxxx分点b]中任意插入若干个在[a,1.定义),(1iiixx的)与小区间长度Δ作函数值f(ξiixiiixx上任取一点在每个小区间],[1n),1,2,3,(i)Δ乘积f(ξiixiniixfS)(1并作和怎样分法，如果不论对],[ba怎样取法，上点也不论小区间iiixx],[1},,,max{21nxxx记积分号，积分变量x,)(被积函数xf其中,积分上限a积分下限b,)(被积表达式dxxfiniibaxfIdxxf)(lim)(10即dxxfba)(记作上的定积分在区间为函数则称],[)(baxfI积分区间b][a,的极限I0时，和S总趋于确定若当λ曲边梯形的面积badxxfA)(变速运动的路程21)(TTdttVS定理1.设f(x)在区间[a,b]上有界,且有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.注(1)定积分是一个数值与被积函数有关。bababadyyfdttfdxxf)()()((2)定积分的值与区间的分法无关,2.定积分存在的充分条件(3)定积分的值只与区间长度有关，i与的取法无关在几何上表示为badxxf)(代数和所围平面图形的面积的bccabadxxfdxxfdxxfA)()()(3.定积分的几何意义ab00x)(xfyc),(xfy由曲线轴与直线xbxax,例1利用定积分的定义计算102dxx,]1,0[)(2连续在解：xxf,],[10等分把区间nbannixfAii1)()(220取近似ninxii取,1即相等则每个小区间的长度均可积)(xf)321(12223nn6)12)(1(13nnnn求和03nniAninii1)(211316)12)(1(1lim3nnnnn31102dxx即iniixf)(lim10取极限04三.定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(10bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([20banbabadxxfdxxfdxxf)()()(21推广badxxfxfxf)]()()([221bccabadxxfdxxfdxxf)()()(30对于c在区间[a,b]之内或之外,结论同样成立上的最大值与最小值，在分别是设],[)(.70baxfmM)(40abkkdxbababadxxgdxxf)()(则babadxxfdxxf)()(60,若50g(x)f(x))()()(abMdxxfabmba则上连续，在闭区间设函数],[)(baxf连续，在闭区间证明：],[)(baxf,mM与最小值一定存在最大值07由)()()(abMdxxfabmbaMdxxfabmba)(1:令badxxfabf)(1)(定积分中值定理08baabfdxxfba))(()(，至少存在一个点使下列等式成立上则在],[ba))(()(abfdxxfba即ab)(fy几何解释：在[a,b]上至少存在一点,使曲边梯形的面积等于以为高的一个矩形面积)(f0sincos)(2xxxxxf22sin2124dxxx即的取值范围估计例24sindxxxxxxfsin)(解：设单调减少上在)(,0)(,],[xfxfba2)2(,22)4(fmfM最小值最大值故xab)(tfy定积分与原函数的关系一.变上限的定积分及其导数的函数是xdttfxxa,)()(上连续，在区间设函数],[)(baxf分，现在考察变上限的定积取],,[bax上连续，在设定理],[)(1baxf],[,)()(baxdttfxxa则函数在上可导xaxxadttfdttf)()()()(fxx因此)()(lim)(lim0xffxxxx)()()(xfdttfdxdxxa且),()(之间与介于xxxxf)()(xfx即),(),,(baxxbax若证明：)()()(xxxx则xxxdttf)(xtdtdxd0sin1求例xtdtdxdxsinsin0解：)0(sin220xdttdxdx求例xxxxsin)(sin222解：原式21023xdtextxcoslim.求例)(][lim2cos102xdtextx解：原式1cos0212)sin(lim2exxexx定理表明:(1)连续函数一定存在原函数(2)把定积分与原函数之间建立起联系xadttfx)()(,],[)(上连续在区间如果函数baxf上的一个原函数在就是],[)(baxf则函数.2定理二.牛顿-----莱布尼兹公式baaFbFdxxf)()()(则)()(xfxF是连续函数如果函数,],[上的一个原函数在区间ba.3定理)()()()(aFbFxFdxxfba即:证明,)()(xadttfx设,)()()(的一个原函数都是与因为xfxxFcxxF)()(,所以aadttfa0(()(caF)(badttfb)()()()()(aFdxxfbFba得)()()(aFbFdxxfba,时当ax时当bx31)01(3131)1(103102xdxx2lnln)2(1212xxdxxysin00cossin0xxdxs计算下列定积分例:解轴上与在计算正弦曲线xxy],0[sin)3(积所围成的平面图形的面2]0cos)[(cos第四节定积分的换元积分法与分布积分法一.定积分的换元积分法定理：上是单值的在区间）函数（],[)(2tx;且有连续的导数上连续；在区间）函数（],[)(1baxf设）上变化时，（或在区间）当（],[],[3tba)(,)(且变化，的值在],[)(batxdtttfdxxfba)()]([)(则有注意:换元的同时一定要换限)0(1022adxxaa计算例tdtadxtaxcos,sin则设解;0,0tx时当2tax时当dtta2022cos24adtta)cos(202212dxxaa022于是2022122)sin(tta205sincos2xdxx计算例xdxdtxtsin,cos则设解0,2;10txtx时当时当6165011055tdttdttxdxxsincos520于是dxxx053sinsin3计算例dxxx053sinsin:解dxxxcossin03;0cos]2,0[xx时，当dxxxcossin03故有54)52(52)sin52sin52(22525xxxdxxxdxxcossincossin232030cos,],2[xx时当dxxx023cossin401.4xdx计算例,:2tx令解;0,0tx时当所以)3ln2(2证明例:5上连续且为偶函数，在若],[)()1(baxf则aaadxxfdxxf0)(2)(2040121dtttxdx20])1ln([[2)111(220ttdtttdtdx2则;2,4tx时当,],[)()2(上连续且为奇函数在若baxf则0)(aadxxf00)()(aadxxfdxxf0)(adxxf对积分则得作代换,,tx:证aadxxf)(因为aaaadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(0)(aadxxf从而aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(adxxfxf0)]()([,)()1(为偶函数若xf则)(2)()(xfxfxfaaadxxfdxxf0)(2)(从而),()(,)()2(xfxfxf即为奇函数若则0)()(xfxf),()(xfxf即于是上连续，在若例]1,0[)(6xf:证明2020)(cos)(sin)1(dxxfdxxf,)(sin2)(sin)2(00dxxfdxxxf由此计算dxxxx02cos1sin,,2)1(:dtdxtx则设证且0,2;2,0txtx时当时当dttfdxxf)]2[sin()(sin0220,,)2(dtdxtx则设.0,,,0txtx时当时当且2020)(cos)(cosdxxfdttf00)(sin)()(sindttftdxxxf0)(sin)(dttft于是xdxxfdxxf00)(sin)(sin00)(sin)(sindtttfdttf00)(sin2)(sindxxfdxxxf所以4)44(22利用上述结论，即得dxxxdxxxx0202cos1sin2cos1sin0)]s[arctan(co2x02cos1cos