定积分的几何应用(面积和弧长)

目录上页下页返回结束利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用目录上页下页返回结束定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?目录上页下页返回结束表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“分割,近似代替,求和,取极限”定积分定义一个整体量;目录上页下页返回结束二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步利用“求和,取极限”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节()d(0(0))Ufxxdxdx目录上页下页返回结束一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用目录上页下页返回结束ybxa)(2xfy)(1xfyO一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为A,右下图所示图形面积为xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfyxxdxxxxdOO目录上页下页返回结束例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点)1,1(,)0,0(31120()dAxxxxyOxy22xyxxxd)1,1(1O目录上页下页返回结束Oxy224xyxy例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有42122(4)dAyyyyyydO目录上页下页返回结束ab例3.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程π)20(sincosttbytax应用定积分换元法得2π02dsin4ttbaba4212πbaπ当a=b时得圆面积公式xxxdxyO目录上页下页返回结束O一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积O目录上页下页返回结束xyaπ2O例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:ttad2sin4π2042)2(tu令uuadsin8π042uuadsin162π0422π3a20(1cos)(1cos)dAatattttad)cos1(π2022π200((sin)2(sin))fxdxfxdxO目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212AxOO目录上页下页返回结束对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:dd)(212aπ20A22a3310π223π34a到2所围图形面积.aπ2xOO目录上页下页返回结束心形线xa2Ottadcos82π042例6.计算心形线所围图形的面积.解:dd)cos1(2122aπ02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212π2π23a心形线O目录上页下页返回结束2coscos21)2cos1(21aa2xyO例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积d)cos1(2122a22π21aA22π21aad)2cos21cos223(2π43π2122aa目录上页下页返回结束a2sin2a例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,d2cos212a4π02a)2(d2cos则所求面积为2a思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar所围公共部分的面积.2Adsin2026πad2cos214π6π2a4π答案:4πyxOO目录上页下页返回结束二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnM当折线段的最大边长→0时,折线的长度之和趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni10limsOAByx目录上页下页返回结束sdabyxO(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)目录上页下页返回结束)ch(cxccxccsh1例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解:xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxcsh20bcbcsh22eechxxx)(chx2eeshxxx)(shxxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录上页下页返回结束例10.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2π202cos22ta0π2a8xyOaπ2目录上页下页返回结束d222aa例11.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:)0(aard)()(d22rrsd12ad1π202as212a21ln210π2raπ2Oar目录上页下页返回结束内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小目录上页下页返回结束思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为,)3,9(,)1,1(yAd312yx032yxyxO13y)32(y2y332yd31241yyd31弧线段部分直线段部分s以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.目录上页下页返回结束解：2.求曲线所围图形的面积.显然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,lnx,lnxe1x1e1xyln,lny,lnye1y1e1y1e1x1e1y面积为同理其他.e1yxxyeexyexy1e1dxe1dx又故在区域目录上页下页返回结束分析曲线特点3.)1(xxyOyx解:41)(221x1A)1(xxy与x轴所围面积1101d)1(xxxA61,0时2A12d)1(xxxA,21AA由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性,211,2143也合于所求.为何值才能使)1(xxy.)1(轴围成的面积及与于xxxxy与x轴围成的面积等故目录上页下页返回结束4.求连续曲线段解:,0cosx此题2π2πxxysd122π2π的弧长.xxd)cos(12202πxxd2cos222π002π2sin222x4