【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件：2.2.2-第2课时等差数列的应用

服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课堂互动探究课后知能检测教师备课资源第2课时等差数列的综合应用服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单●三维目标1．知识与技能进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究Sn的最值．初步体验函数思想在解决数列问题中的应用．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单2．过程与方法通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；(2)通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单●重点难点重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用．难点：灵活运用求和公式解决问题．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单课标解读1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)2.会求等差数列前n项和的最值问题．(重点、易错点)3.能用裂项相消法求和．(难点)服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列前n项和的性质【问题导思】已知等差数列{an}，其前n项和为Sn.1．a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等差数列吗？【提示】a3＋a4＝(a1＋a2)＋4d，a5＋a6＝(a3＋a4)＋4d，∴(a5＋a6)－(a3＋a4)＝(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6构成等差数列．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单2．我们知道，a1＋a2＝S2，a3＋a4＝S4－S2，a5＋a6＝S6－S4，则上述关系可以描述为一个怎样的结论？【提示】如果{an}是等差数列，那么S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列．3．这种结论可以推广吗？【提示】可以推广．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成数列.等差服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列前n项和Sn的最值【问题导思】等差数列的前n项和Sn与n之间是怎样的函数关系呢？【提示】Sn＝d2n2＋a1－d2n.当d≠0时，Sn是项数n的二次函数且不含常数项，当d＝0时，Sn＝a1n，不是n的二次函数．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最值．(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最值．负小正大服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.(2)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【思路探究】(1)可设出a1和d，用前n项和公式列方程组变形求解，也可利用等差数列的性质求解．(2)设项数为2n＋1，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，由奇数项之和与偶数项之和的关系，列式求解．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【自主解答】(1)法一设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有ma1＋mm－12d＝30，①2ma1＋2m2m－12d＝100，②②－①，得ma1＋m3m－12d＝70，所以S3m＝3ma1＋3m3m－12d＝3ma1＋m3m－12d＝3×70＝210.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法二Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，所以30、70、S3m－100成等差数列，所以2×70＝30＋S3m－100.所以S3m＝210.法三在等差数列{an}中，因为Sn＝a1n＋12n(n－1)d，所以Snn＝a1＋(n－1)d2.即数列Snn构成首项为a1，公差为d2的等差数列．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单依题中条件知Smm、S2m2m、S3m3m成等差数列，所以2·S2m2m＝S3m3m＋Smm.所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)设等差数列{an}共2n＋1项，公差为d，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝44S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝33∴S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1＝11，即中间项an＋1＝11.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单又S2n＋1＝S奇＋S偶＝77.∴2n＋1a1＋a2n＋12＝2n＋1·2an＋12＝77∴(2n＋1)×11＝77，∴2n＋1＝7，即数列的中间项为11，这个数列共7项．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列前n项和性质小结：1．等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．2．等差数列{an}中，公差为d：(1)若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶∶S奇＝an＋1∶an.(2)若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶∶S奇＝n∶(n＋1)．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()A．9B．12C．16D．17【解析】由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.【答案】A服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列前n项和的最值问题数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.(1)从第几项开始有an0；(2)求此数列的前n项和的最大值．【思路探究】(1)怎样求an？an0的含义是什么？不等式的解集的含义是什么？(2)能否用二次函数的方法处理前n项和的最值问题？由an的变化可以推测吗？服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【自主解答】(1)∵a1＝50，d＝－0.6，∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.令－0.6n＋50.6≤0，则n≥50.60.6≈84.3.由于n∈N*，故当n≥85时，an0，即从第85项起以后各项均小于0.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单(2)法一Sn＝50n＋nn－12×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝－0.3n－50362＋5032120.当n取接近于5036的正整数，即n＝84时，Sn达到最大值S84＝2108.4.法二∵d＝－0.60，a1＝500，由(1)知a840，a850，∴S1S2…S84，且S84S85S86….∴(Sn)max＝S84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2108.4.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列前n项和的最值问题(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0时，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．(2)利用Sn：二次函数Sn＝d2n2＋a1－d2n由配方法求得Sn取最值时n的值．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项和最小？【解】法一设等差数列{an}的公差为d，则由题意得，9a1＋12×9×(9－1)d＝12a1＋12×12×(12－1)d，即3a1＝－30d，∴a1＝－10d.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单∵a10，∴d0，∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2n－2122－2128d.∵d0，∴Sn有最小值．又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取得最小值．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单法二a1＝－10d(过程同法一)．由an＝a1＋n－1d≤0，an＋1＝a1＋nd≥0，即1－110n－1≥0，1－110n≤0.得10≤n≤11，∴n取10或11时，Sn取最小值.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单裂项相消法求数列的和等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1＋1S2＋…＋1Sn.【思路探究】(1)由a1，d能否求出Sn？1Sn为多少？(2)1Sn能否为裂项成为正负相消的项？服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【自主解答】∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴1Sn＝1n2＋2n＝1nn＋2＝121n－1n＋2，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32n＋1n＋2.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单1．若数列{an}是等差数列，公差为d(d≠0)，则和式Tn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1an－1an可用裂项法求和，具体过程如下：∵1an－1·an＝1d1an－1－1an，∴Tn＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1－1an＝1d1a1－1an＝n－1a1an.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单本例中若把条件改为“a1＝1，d＝1”，其他都不变，试求解之．【解】∵数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．∴Sn＝n＋nn－12×1＝12n2＋12n，∴1Sn＝2nn＋1＝21n－1n＋1，∴1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单裂项相消法求和(12分)在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)．(1)若bn＝an2n，求证：{bn}是等差数列；(2)在(1)的条件下，设Cn＝1bnbn＋1，求{Cn}的前n项和Tn.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[RB·必修5]返回菜单【思路点