2014高考数学典型题精讲课件8-4空间中的垂直关系

第四节空间中的垂直关系考纲解读1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．考向预测1．以选择题、填空题的形式，考查线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理．2．解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻辑推理能力为主．3．通过考查线面角，考查空间想象能力及运算能力，常以解答题的形式出现．知识梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直．任何②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也这个平面．垂直(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内的直线．②垂直于同一个平面的两条直线．③垂直于同一直线的两平面．任何平行平行2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．②判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．一条垂线直角(2)平面与平面垂直的性质如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面．交线3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.两个半平面垂直于棱基础自测1.(2012·庆阳模拟)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知mα，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，∵mα，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是l⊥β的必要不充分条件．故选B.2．(2012·广东模拟)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④[答案]D[解析]考查空间线面的位置关系的判定与性质．①错，②正确，③错，④正确．故选D.3．(2012·九江调研)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案]C[解析]本小题主要考查立体几何基础知识，考查了线面平行与垂直，和面面的平行与垂直．由线面垂直的判定方法知，若l⊥α，α∥β，则l⊥β成立．故选C.4．对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα[答案]D[解析]本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；D是成立的，故选D.5．(2012·山东淄博)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.[解析]∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，∴MN⊥B1C1又MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面B1C1M，MC1平面B1C1M，∴MN⊥MC1即∠C1MN＝90°.[答案]90°6．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[解析]本题考查四面体的性质，取BC的中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，②③易排除，故答案为①④.[答案]①④7．如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，B1C⊥BD.求证：AB1⊥BD.[解析]由直三棱柱得C1C⊥AC，又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴AC⊥平面CB1，而BD平面CB1，∴AC⊥BD，又B1C⊥BD，∴BD⊥平面AB1C，AB1平面AB1C，∴BD⊥AB1.[例1]已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是()①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若mα，nβ，m∥n，则α∥β④若m、n是异面直线，mα，m∥β，nβ，n∥α，则α∥βA．①②B．①③C．③④D．①④位置关系的判定[解析]命题①为真命题，垂直于同一条直线的两个不重合平面必平行．命题②为假命题，例如正方体交于同一点的相邻三个面．命题③为假命题，例如(如上图)．正四棱锥中，AB面SAB，CD面SCD，AB∥CD.但面SAB与面SCD不平行，而是相交．命题④为真命题，因为过直线n作平面γ和平面α相交，设交线为a，则a∥n.∵m、n为异面直线，mα，nβ，∴m，a为相交直线∵m∥β，a∥β，∴α∥β.故选D.[答案]D设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考察下列命题，其中正确的命题是()A．m⊥α，nβ，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β[答案]B[解析]如下图(1)满足m⊥α，nβ，m⊥n，但β∥α，故A错；α∥βm⊥α⇒m⊥βn∥β⇒m⊥n，故B对；如上图(2)满足α⊥β，m⊥α，n∥β，但m∥n，故C错；如上图(3)α⊥β，α∩β＝m，AB⊥m于B，BC⊥m于B，直线AC为直线n，显然满足D的条件，但不能得出n⊥β.故D错．∴选B.[例2]如上图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.线面垂直的判定和性质[分析]取PD的中点E，连接AE，则有MN∥AE，考虑证明AE⊥平面PCD.[证明]如上图，取PD的中点E，连接AE，NE.∵E、N分别为PD、PC的中点，∴EN綊12CD.又∵M为AB的中点，∴AM綊12CD.∴EN綊AM.∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.而AE平面PAD，∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.[点评]证明线面垂直的常用方法：(1)利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．(2)用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直．(3)利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．(4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．(5)用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．(6)用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面．如下图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．证明：AE⊥PD.[证明]由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.[例3]如下图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：面面垂直的判定与性质(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[证明](1)取EC中点F，连接DF，由EC⊥平面ABC及BD∥CE知DB⊥平面ABC.故DB⊥AB，EC⊥BC，又BD∥FC，BD＝12CE＝FC，∴四边形FCBD为矩形，于是DF⊥EC，又DF＝BC＝BA，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，所以DE＝DA.(2)由(1)知△DAE为等腰三角形，且M为底面EA的中点，故DM⊥AE.取CA中点N，连接MN、NB，则MN∥EC，且MN＝12EC，又DB∥EC，且DB＝12EC，故BD∥MN，且BD＝MN，又由DB⊥平面ABC知DB⊥BN，所以四边形MNBD为矩形，于是DM⊥MN，因MN∩AE＝M，所以DM⊥平面ECA，而DM平面BDMN，则平面BDM⊥平面ECA.(3)因DM⊥平面ECA，又DM平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.[点评]证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决．如下图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值．[解析]本题考查立体几何中的线面关系，两平面的垂直关系线面平行的性质在本题中都有体现．(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D:DC1＝1.[例4]已知三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)．探索性问题(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.[分析](1)只需证明面BEF中恒有一直线与平面ABC垂直即可；(2)探究过点B且与面ACD垂直的直线，并求此时λ的值．[解析](1)AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC.EF平面BEF，∴不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，故要使平面BEF⊥平面ACD，只要BE⊥平面ACD.即BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6.∴AC＝7.由AB2＝AE·AC得AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.[点评]空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为：平面几何有关垂直⇀线线垂直判定定理定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直高考中有时会出现一些与垂直有关的探究题，主要是探究某一点的位