福建省2013届高考数学一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 文 新课标

1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.*22_________(N)___________.___.111________1__________________________4.2_13nnnnnaaaGabGabGnqqqSqS等比数列定义①，这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由来判断．等比数列的通项公式为②对于是、的等比中项，则，③特别要注意等比数列前项和公式应分为与两类．当时，④；当时，⑤等比数列111111 ()(1)11nnnnnnnaqaaqaaaqaqabnaSqq①非零常数；②；③；④；⑤【点指南】或要1.已知2，a，b，c,4成等比数列，则实数b等于()A．22B．－22C．±2D．8【解析】因为2，a，b，c,4成等比数列，所以b2＝2×4＝ac，a2＝2b，所以b0，所以b＝22.2.若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值＝()A．21B．42C．63D．84【解析】由a1＋a2＋a3＝21⇒a1(1＋q＋q2)＝21⇒q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)，所以a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)·q2＝84，故选D.3.若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16【解析】an·an＋1＝16n，则当n≥2时，an－1·an＝16n－1，两式相除得an＋1an－1＝16＝q2⇒q＝4或q＝－4，当q＝－4时，an·an＋1＝an·an·(－4)＝－4a2n0，不合题意，舍去；所以q＝4.4.(2010·江苏溧水模拟)等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，S3＝3a3，则公比q＝－12或1.【解析】当q＝1时，an＝a1，S3＝3a3，则q＝1符合题意．当q≠1时，a11－q31－q＝3a1q2，解得q＝－12或1(舍去)．所以q＝－12或1.5.(2011·北京卷)在等比数列{an}中，a1＝12，a4＝4，则公比q＝2；a1＋a2＋…＋an＝2n－1－12.【解析】由题意q3＝a4a1＝8＝23⇒q＝2；a1＋a2＋…＋an＝121－2n1－2＝12×(2n－1)＝2n－1－12.一等比数列的基本运算【例1】已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式和前n项和Sn.【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，所以2q＋2q＝203，解得q1＝13，q2＝3.①当q＝13时，a1＝18；所以an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2·33－n；Sn＝18[1－13n]1－13＝27－33－n.②当q＝3时，a1＝29，所以an＝29·3n－1＝2·3n－3，Sn＝29[1－3n]1－3＝3n－2－19.综上所述，an＝2·33－nSn＝27－33－n或an＝2·3n－3Sn＝3n－2－19.【点评】(1)等比数列{an}中，an＝a1qn－1，Sn＝a11－qn1－q中有五个量，可以知三求二；(2)注意分类讨论的应用．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12素材1【解析】由{an}是等比数列，a1＝1，所以am＝1·qm－1＝15·q1＋2＋3＋4，所以m－1＝10，即m＝11，故选C.二等比数列的判定及证明【例2】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5，所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2，所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．【点评】判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证an＋1an＝q(q是非零常数)；另一种是等比中项法，即证a2n＝an－1·an＋1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法．等比数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2n·Sn(n∈N*)．证明：(1)数列{Snn}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.素材2【证明】(1)方法1：因为an＋1＝n＋2n·Sn，所以Sn＋1－Sn＝n＋2n·Sn，所以nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以Sn＋1n＋1＝Snn·2，即Sn＋1n＋1Snn＝2，所以数列{Snn}是以S1＝a1＝1为首项，2为公比的等比数列．方法2：因为Sn＋1n＋1Snn＝nSn＋1n＋1Sn＝nSn＋an＋1n＋1Sn＝nSn＋n＋2nSnn＋1Sn＝n1＋n＋2nn＋1＝2n＋2n＋1＝2，所以数列{Snn}是等比数列．(2)由(1)得Snn＝S1·2n－1＝2n－1，所以Sn＝n·2n－1，所以Sn＋1＝(n＋1)·2n.又an＝n＋1n－1Sn－1＝n＋1n－1·(n－1)·2n－2＝(n＋1)·2n－2＝14·(n＋1)·2n＝14Sn＋1，所以Sn＋1＝4an.【点评】证明等比数列的两个基本方法：(1)利用定义：an＋1an为一常数；(2)利用等比中项：a2n＝an－1·an＋1(n≥2)．三等比数列的最值【例3】等比数列{an}的首项为a1＝2010，公比q＝－12.(1)设bn表示数列{an}的前n项的积，求bn的表达式；(2)在(1)的条件下，当n为何值时，数列{bn}有最大项？【分析】(1)求出{an}的通项公式，再由bn＝a1·a2·…·an得表达式．(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求．【解析】(1)因为an＝2010×(－12)n－1，所以bn＝a1·a2·…·an＝2010n×(－12)0＋1＋2＋…＋(n－1)＝2010n×(－12)nn－12.(2)因为|bn＋1||bn|＝20102n，所以，当n≤10时，|bn＋1||bn|＝20102n1，所以|b11||b10|…|b1|；当n≥11时，|bn＋1||bn|＝20102n1，所以|b11||b12|…，又因为b110，b100，b90，b120，所以bn的最大值是b9和b12中的较大者．因为b12b9＝201012×－126620109×－1236＝20103×(12)30＝[2010×(12)10]31.所以当n＝12时，{bn}有最大项为b12＝201012×(－12)66.【点评】等比数列的通项公式类同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性：当a10q1或a100q1时为单调增数列；当a10q1或a100q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的表达式；(2)定义数列{an}，a1＝12，a2n＋1＝2anf(an)(n∈N*)，证明：数列{1a2n－2}是等比数列．(3)令bn＝1a2n－2，Sn为数列{bn}的前n项和，求使Sn318成立的最小n值．素材3【分析】(1)化弦为切，再用x表示y即可；(2)只需证明1a2n－21a2n－1－2为常数即可；(3)利用(2)求出bn的前n项和Sn，再代入不等式可得．【解析】(1)因为sin(2α＋β)＝3sinβ，所以sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝3sinβ，即得sin2αcosβ＝3sinβ－cos2αsinβ＝sinβ(3－cos2α)＝2sinβ(2－cos2α)，所以y＝tanβ＝sinβcosβ＝sin2α22－cos2α＝2sinαcosα22sin2α＋2cos2α－cos2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝x2x2＋1，即f(x)＝x2x2＋1.(2)因为a2n＋1＝2anf(an)＝2an·an2a2n＋1＝2a2n2a2n＋1，所以1a2n＋1＝2a2n＋12a2n＝1＋12a2n.当n≥2时，1a2n－2＝1＋12a2n－1－2＝12a2n－1－1＝12(1a2n－1－2)，而1a21－2＝2，所以数列{1a2n－2}是以2为首项，12为公比的等比数列．(3)由(2)得bn＝1a2n－2＝2·12n－1，所以Sn＝21－12n1－12＝4(1－12n)．令Sn＝4(1－12n)318，得12n132，所以n5.则使Sn318成立的最小n值为6.【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和数列的基本知识，包括等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，还考查了化归的数学思想方法及推理运算能力．备选例题(2012·泉州模拟)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn，(c是不为零的常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成等比数列．(1)求c的值；(2)求{an}的通项公式．【解析】(1)依题意an＋1＝an＋cn，又a1＝2，所以a2＝a1＋c＝c＋2，a3＝a2＋2c＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，故a22＝a1a3，即(c＋2)2＝2×(3c＋2)，解得c＝0或c＝2.又c是不为零的常数，所以c＝2.(2)由(1)知an＋1＝an＋2n，所以当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…，a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1，将以上各式累加得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，所以an＝n2－n＋2(n≥2)，检验得a1也满足上式，故an＝n2－n＋2.112()nnaaqnSn方程思想的应用．在等比数列的五个基本量，，，，中，“知三求二”，一般是运用通项公式和前项和公式列方程，通过解方程求解．．等比数列的判定常用定义法和等比中项法；而证明不是等比数列时，只需举反例常从前几项入手．．