高等数学习题详解-第3章--导数与微分

-1-习题3-11．设某产品的总成本C是产量q的函数:2+1Cq，求(1)从100q到102q时，自变量的改变量q；(2)从100q到102q时，函数的改变量C；(3)从100q到102q时，函数的平均变化率；(4)总成本在100q处的变化率.解：(1)q=102-100=2,(2)(102)(100)CCC=22102+1)-(100+1)=404((3)函数的平均变化率为00()()4042022CqqCqCqq.(4)总成本在100q处的变化率为100()(100)lim100qCqCq22100100100limlim(100)200100qqqqq2．设()2fxx，根据导数定义求(4)f.解44()(4)224(4)limlim44xxfxfxfxx42(2)1lim2(2)(2)xxxx3．根据函数导数定义，证明(cos)sinxx.证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得0cos()cos(cos)limhxhxxh0sin2limsin()22hhhxhsinx.4．已知()fak，求下列极限：(1)0()()lim;xfaxfax(2)0()()limxfaxfaxx解(1)00()()()()limlim();xxfaxfafaxfafakxx(2)0()()limxfaxfaxx=0()()()()limxfaxfafafaxx00()()()()limlimxxfaxfafaxfaxx()()2fafak5．已知.0)0(f(0)1f，计算极限0(2)lim.xfxx解00(2)(2)(0)lim=2lim2(0)22xxfxfxffxx6．求下列函数的导数：(1)5yx；(2)yxx；-2-(3)xye；(4)2xxye;(5)lgyx；(6)sin4y解(1)545xx；(2)31443()()4xxxx；(3)1()lnxxxeeee；(4)(2)[(2)](2)ln(2)2(ln21)xxxxxxeeeee;(5)1(lg)ln10xx；(6)(sin)047．问函数,,sin)(xxxf00xx在0x处是否可导？如可导，求其导数.解考察0x处的左、右导数(0)f=0(0)(0)limhfhfh0sinlim1,hhh(0)f=0(0)(0)limhfhfh0lim1hhh,所以，函数在0x处的可导，且(0)1f.8．讨论函数2,0()2,011,1xxfxxxxx在点0x和1x处的连续性与可导性.解(1)考察0x处的左、右导数(0)f=0(0)(0)limhfhfh0lim1,hhh(0)f=0(0)(0)limhfhfh02lim2hhh,所以，函数在0x处不可导；又00lim()lim()0(0)xxfxfxf,所以，函数在0x处连续.(2)考察1x处的左、右导数(1)f=1()(1)lim1xfxfx122lim2,1xxx(1)f=1()(1)lim1xfxfx21(1)2lim2,1xxx所以，函数在1x处的可导，且(1)2f.9．求等边双曲线xy1在点2,21处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.-3-解由导数的几何意义，得切线斜率为31/21xxkyx1/2214xx.所求切线方程为,2142xy即.044yx法线方程为,21412xy即.01582yx10．求曲线lnyx在点,1e处的切线与y轴的交点.解曲线lnyx在点,1e处的切线斜率为111xxekyxe故切线方程为11()yxee.上式中，令0x，得0y.所以，曲线lnyx在点,1e处的切线与y轴的交点为0,0.习题3-21．求下列函数的导数：(1)23sinyxxx；(2)6321xxyx；(3)sinln2stt；(4)coslnyxxx(5)11xyx；(6)21xeyx解(1)y23cosxx;(2)57332422()2()()353yxxxxxx;(3)()sin(sin)0stttt=sincos2tttt;(4)cosln(cos)lncos(ln)yxxxxxxxxxcoslnsinlncosxxxxxx(5)22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)xxxxyxx；(6)22222()(1)(1)1(1)xxxeexxeyxx222222(1)2(1)(1)(1)xxxexxexexx.2．求下列函数在给定点处的导数：(1)arccos,yxx求12xy；(2)tansec，求4;dd-4-(3)33()ln1xxefxe，求(0)f.解(1)yarccos+(arccos)xxxx=2arccos1xxx12xy=112arccos2114=133(2)2dtansecsectand4d1221d4=1+22(3)331()ln(1)22xfxxe，333()22(1)xfxe故(0)f333(0)22(11)4f3．曲线32yxx上哪一点的切线与直线210xy平行？解231yx,令2y，即231=2x，得=1x或=-1x，代入原曲线方程都有：2y，故所求点为：1,2或-1,2.4．求下列函数的导数：(1)xysinln；(2)310(1)yx；(3)23(cos)yxx；(4)322ln1xyx；(5)22sinsinyxx；(6)2tan[ln(1)]yx；(7)1sin2xy;(8)lnxxye；(9)22ln()yxxa；(10))0(arcsin22222aaxaxaxy解(1)y1sinsinxxcoscotsinxxx；(2)39323910(1)(1)30(1)yxxxx；(3)2223(cos)(cos)yxxxx223(cos)(12cos(sin))xxxx223(cos)(1sin2)xxx；(4)322211lnln(2)ln(1)321xyxxxy22111(1)3(2)21xxx=213(2)1xxx;(5)2222sincossinsincos2yxxxxxx222sin2sin2sincosxxxxx；-5-(6)222sec[ln(1)][ln(1)]yxx=222222212sec[ln(1)](1)sec[ln(1)]11xxxxxx；(7)1sin12ln2(sin)xyx=1sin112ln2cos()xxx1sin22ln21cosxxx;(8)ln()lnxxxyexln2ln(ln)lnxxxxxxex=ln2ln1lnxxxex；(9)22221()yxxaxxa2222221()(1)2xaxxaxa22221(1)xxxaxa=221xa；(10)222222221112221xayaxaaxxa222222221122xaaxaxax=22ax.5．已知)(uf可导，求下列函数的的导数：(1)(csc)yfx；(2)(tan)tan[()]yfxfx.解(1)(csc)(csc)yfxx=(csc)csccotfxxx(2)2(tan)(tan)sec[()]()yfxxfxfx=22sec(tan)sec[()]()xfxfxfx.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数()yyx的导数ddyx：(1)4444xyxy；(2)；sincos()0yxxy;(3)sin0xyeexy；(4)22arctanlnyxyx.解(1)方程两边同时对自变量x求导，得33dd4444ddyyxyyxxx,整理得33d()dyyxxyx,故33ddyxyxyx；(2)ddcossinsin()(1)0ddyyyxxxyxx整理求得ddyx=sin()cossin()sinxyyxxyx(3)ddcos()0ddxyyyeexyyxxx求得ddyx=coscosxyeyxyexxy-6-(4)2222111.(22)21()xyyxyyyxxyx整理求得2222xyyxyyxyxy故ddyx=xyxy.2．求曲线3335xxyy在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解方程两边同时对自变量x求导，得2233330xyxyyy解得ddyx=22yxyx，在点(1,1)处，(1,1)1y，于是，在点(1,1)处的切线方程为11(1)yx，即20xy,法线方程为11(1)yx即yx.3．用对数求导法求下列各函数的导数ddyx:(1)sin(0)xyxx；(2)axxyxax；(3)(1)(2)(3)(4)xxyxx；(4)(sin)(cos)yxxy.解(1)等式两边取对数lnsinlnyxx两边对x求导得11coslnsin,yxxxyx故sind1coslnsindxyxxxxxx.(2)1lnaxxyaxaax1lnln1axxaxaaxxx(3)1ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2yxxxx11111121234yyxxxx得1(1)(2)11112(3)(4)1234xxyxxxxxx.(4)lnsinlncosyxxylnsincotlncostanyxyxyxyyddyx=lncoscottanlnsinyyxxyx4．求下列参数方程所确定的函数的导数ddyx：-7-(1)221xttyt；(2)33cossinxaya.解(1)d()d()yytxxt212tt(2)22d()3sincosd()3cos(sin)yyaxxa=tan5．求椭圆6cos4sinxtyt在4t相应点处的切线方程.解d()d()yytxxt4sin4cos2cot6sin36costtttt.4t时，切线斜率为4d2d3tyx，()324x，()224y.故所求切线方程为222(32)3yx.习题3-41．求函数2xy当x由1改变到1.005的微分.解因为dd2d,yyxxx由题设条件知1x，d1.00510.005xx故所求微分为d210.0050.01.y2．求函数sin2yx在0x处