【步步高】2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问

第七章不等式§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析易错警示系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成.平面区域不包括包括实线知识梳理1答案(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的即可判断Ax＋By＋C0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.相同符号答案2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求或的函数线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足的解可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值答案3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有①当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.(3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()(4)不等式x2－y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()×√×√思考辨析答案1.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为______________.解析两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0为所表示的可行域.x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0考点自测2解析答案12345解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③.2.不等式组x－3y＋60，x－y＋2≥0表示的平面区域是________.③解析答案123453.若实数x，y满足不等式组x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________.解析因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故AB＝2，AC＝22，其面积为12×AB×AC＝2.2解析答案123454.若x，y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为________.解析可行域如图所示.目标函数化为y＝－12x＋12z，当直线y＝－12x＋12z过点A(0,1)时，z取得最大值2.2解析答案123455.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).解析答案12345题型分类深度剖析命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域解析答案(2)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于________.解析由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，43)，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.43解析答案命题点2含参数的平面区域问题例2若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是______.解析答案思维升华(1)不等式组x≥0，x＋y≤3，y≥x＋1表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为________.解析直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM＝2－－11－0＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞).[3，＋∞)跟踪训练1解析答案(2)已知约束条件x≥1，x＋y－4≤0，kx－y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为________.解析由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直.①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求.②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求.1解析答案命题点1求线性目标函数的最值例3(2014·广东)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.题型二求目标函数的最值问题解析答案命题点2求非线性目标函数的最值例4实数x，y满足x－y＋1≤0，x0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；解析答案(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.解z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此x2＋y2的值最小为OA2(取不到)，最大值为OB2.由x－y＋1＝0，x＝0，得A(0,1)，∴OA2＝(02＋12)2＝1，OB2＝(12＋22)2＝5，∴z的取值范围是(1,5].解析答案1.若z＝y－1x－1，求z的取值范围.解z＝y－1x－1可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率.∴z的取值范围是(－∞，0).解析答案引申探究2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.解z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方，(PQ2)max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ2)min＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12，∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝12＋1＝32.解析答案命题点3求线性规划的参数例5已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由x＝1，y＝ax－3，得x＝1，y＝－2a，12∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝12.解析答案思维升华(1)在直角坐标平面内，不等式组y≤x＋1，y≥0，0≤x≤t所表示的平面区域的面积为32，则t的值为________.跟踪训练2解析答案(2)(2014•安徽改编)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________.解析如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.2或－1解析答案例6某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？题型三线性规划的实际应用解析答案思维升华(2015∙陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128跟踪训练3解析答案易错警示系列易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x＋y＝m和直线y＝－x平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点.典例已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.易错警示系列8.含参数的线性规划问题的易错点温馨提醒解析答案返回易错分析思想方法感悟提高1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线).2.求最值：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得.方法与技巧3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.方法与技巧1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有________个.16解析答案2.若点(m,1)在不等式2x＋3y－50所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．解析由2m＋3－50，得m1.m112345678910111213141516解析答案3.设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为________.12345678910111213141516解析答案4.若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________.12345678910111213141516解析答案5.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的