长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

长沙理工大学二手货QQ交易群146808417长沙理工大学模拟考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号1拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号0701011专业全校各专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分）1.设n阶方阵CBA,,可逆且满足EABC，则必有ECBA（）2.设21,xx是bAX的解，则21x是bAX的解（）3.若矩阵A的列向量组线性相关，则矩阵A的行向量组不一定线性相关（）4.设x表示向量x的长度，则xx（）5.设21,xx是bAX的解，则21x是0AX的解（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式231013412＝；2.若,为)0(,bbX的解，则或必为的解；3.设n维向量组m,,,:21，当nm时，一定线性，含有零向量的向量组一定线性；长沙理工大学二手货QQ交易群1468084174.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则2的特征值为；三、计算题（每小题10分，共60分）1.2111121111211112；第1页（共2页）2.若线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解，问常数4321,,,aaaa应满足的条件？3.设s,,,21是方程组bX的解向量)0(b，若sskkk2211也是的解，则skkk21；4.求齐次线性方程组020332202432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系；5.已知矩阵yxA3122与矩阵4321B相似，求yx,的值；6.设3231212322214225xxxxxaxxxxf为正定二次型，求a.四、证明题（10分）：设向量组321,,线性无关，长沙理工大学二手货QQ交易群146808417证明321211,,线性无关。长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分）1，×2，×3，√4,×5,√二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，0X；3，相关，相关；4，4，1，4.三、计算题（每小题10分，共60分）1.2111121111211112=2115121511251115=52111121111211111（5分）=51000010000101111＝5（5分）2.)(bA43211001110001100011aaaa（2分）43213210000110001100011aaaaaaa（5分）若有解，则A的秩与)(bA的秩相等，即4321aaaa0。（3分）3.2000672012114720672012111244302121123131242rrrrrr（6分）∴(1)当2时，矩阵的秩为2；（2分）(2)当2时，矩阵的秩为3.（2分）第1页（共3页）4.对系数矩阵作作初等行变换11001100121122111332212111312rrrr0000110030112000011001211)1(21232rrrrr得同解方程组42342103xxxxxx令0142xx，10；得0131xx，13基础解系为：TT1103,0011215.解：∵A与B相似，∴特征多项式相同，即EBEA亦即xyyxEA31))(22(31226)4)(1(4321EB6)4)(1(31))(22(xy17,12yx6.解：f的矩阵为5212111aaA∵f为正定二次型，∴A的各阶主子式大于0．即111a＞0，222211211111aaaaaaa＞0)45(5212111aaaaA＞0第2页（共3页）解联立不等式组21a＞0或)45(aa＜01＜a＜1或54＜a＜054＜a＜0即当54＜a＜0时，f为正定二次型．四、证明题（10分）：证明：设存在一组数321,,kkk使得0)()(321321211kkk0)()(3322211321kkkkkk，（3分）又向量组321,,线性无关，因此0,0,0000321332321kkkkkkkkk，（7分）由此可知，只有当0,0,0321kkk时，等式0)()(321321211kkk才成立，即向量组321211,,线性无关。（10分）第3页（共3页）长沙理工大学模拟考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号2拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号专业层次（本、专）考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题：(正确填√,错误填×.每小题２分，共10分)1.BA,是n阶矩阵，则BAAB；（）2.若BA,均为n阶矩阵，则)()()(BRARBAR；（）3.向量组s,,,21线性相关，则至少含有一个零向量；（）4.若21,是齐次线性方程组0AX的两个线性无关解向量，则1111kk不是0AX的解；（）5.设A为n阶矩阵，则A与2A具有相同的特征向量。（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.若行列式aaDijn，则ijaD；2.321321；3.设向量组T：m,,,21，若T线性相关，则秩Tm；若T线性无关，则秩Tm;4.如果三阶矩阵对应于特征值321,,的特征向量为321,,ppp，令),,(321ppp，则1。三、计算题：(每小题10分，共60分)第1页（共2页）1.efcfbfdecdbdaeacab；2.计算321123；3.设21232121aaA,321031xxxxb,,若线性方程组bAx无解,则a；4.求解非齐次线性方程组:12222412432143214321xxxxxxxxxxxx；5.设3阶矩阵A的特征值为，21，22，13对应的特征向量依次为,011111110321ppp，，求A；6.用配方法化二次型32212221442xxxxxxf为标准形，并求所用的可逆变换矩阵．四、证明题：(10分)设BA,为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明ABBT也是对称矩阵.第2页（共2页）长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：2一、判断题（每小题2分，共10分）1，√，2，√，3，×，4，×，5，√；二、填空题：(每小题5分，共20分)1，an)1(；2，963642321；3，mTmT,；4，321000000三、计算题（每小题10分，共60分）1.fffdddaaabceefcfbfdecdbdaeacab（4分）abcdefabcdef4111111111；（10分）2.AXEA)2(（2分）022EA,EA2可逆AEAX1)2(（5分）011100101010110001101101110110011011,2AEA（8分）011101110X（10分）3.解0000010010215110531631121A（5分）4432242102xxxxxxxx（7分）第1页（共3页）通解为10010012214321kkxxxx4.20000100412023112131015162312311,,,4321aaaaaaa（5分）当2a时，43),,,(4321aaaaR向量组4321,,,aaaa线性相关.（10分）5.解令011111110,,321pppP，P可逆110100111010011001100011010111001110,EP110111011P（4分）1122PPA（6分）244354332（10分）6.解：32222214)(2xxxxxf=232322214)2()(2xxxxx（4分）令333222112xyxxyxxy,即33322321122yxyyxyyyx（6分）则原二次型化为标准形23222142yyyf（8分）可逆变换矩阵第2页（共3页）100210211C（10分）四、证明题：（10分）证明：因为ABBBABABBTTTTTTT)()(（8分）所以ABBT也是对称矩阵。（10分）第3页（共3页）长沙理工大学模拟考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号3拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号专业层次（本、专）考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题：(正确填√,错误填×.每小题２分，共10分)1.若五阶方阵的行列式的行列式，则；（）2.设为阶方阵，为阶单位阵，则；（）3.若向量不能用向量表示，则线性无关；（）4.任何一个齐次线性方程组都有解；（）5.若均为阶正交矩阵，则也必为正交矩阵。（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.若阶方阵中有一列向量是其余列向量的线性组合，则；2.若有阶可逆矩阵，则可逆，的逆矩阵为；3.齐次线性方程组的基础解系中的解向量一定线性；4.设则由表示是为=。三、计算题：(每小题10分，共60分)1.；2.设，求；3.已知三阶方阵且的每一个列向量都是的解，1）求的值，2）求；第1页（共2页）4.求矩阵的行向量组的一个最大无关组；5.设三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量为，求；6.写出二次型的矩阵，并判断是否为正定。四、证明题：(10分)若线性无关，试证也线性无关。长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：3一，