48最短路径问题

20世纪著名数学家赫尔曼·外尔所说的，“对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善……”给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习.----高斯问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？情景引入BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．本节课我们一起来把这个问题抽象为数学问题！BAl情景引入第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）如图，小区A、B分居公路两侧，现要在公路旁建一个液化气站P，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点P.A小区B小区公路合作学习，探究新知如图1，小区A、B分居公路两侧，现要在公路旁建一个液化气站C，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点P.哈，我知道怎样作图啦！ABP1、你的根据是什么？根据是：两点之间，线段最短。你可以在L上找几个点试一试，能发现怎么证明吗？思考？？？连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。如图1，小区A、B分居公路两侧，现要在公路旁建一个液化气站P，要求到两个小区的距离之和最短，问应建在什么地方？请作出点P.ABP1、根据是：两点之间线段最短。ABPM你能证明吗？根据是：三角形任意两边之和大于第三边。MAlBP点P的位置即为所求.作法：连接AB,线段AB与直线L交于点P。(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图,A、B在直线L的异侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MBAB即MA+MBPA+PB三角形任意两边之和大于第三边M要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？哈，我知道怎样作图啦！ABPBM2、∟ABlB/P点P的位置即为所求.M作法：①作点B关于直线l的对称点B/.②连接AB/,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.为什么这样做就能得到最短距离呢？MA+MB′AB′即MA+MBPA+PB三角形任意两边之和大于第三边ABlB/P两点在一条直线同侧已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.A/作法：①作点B关于直线l的对称点B/.②连接AB/,交直线l于点P.点P的位置即为所求.作法：①作点A关于直线l的对称点A/.②连接BA/,交直线l于点P.点P的位置即为所求.例已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，（1）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距村庄N最近？答：如图，当汽车行驶到P1时，距村庄M最近，当汽车行驶到P2时，距村庄N最近。ABMNP1P2根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。延展学习，内化知识例2已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，（2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距离相等？答：如图，当汽车行驶到P3时，与村庄M、N的距离相等。ABMNP3根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。延展学习，内化知识例2已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，（3）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？答：如图，当汽车行驶到P4时，到村庄M、N的距离之和最短。ABMNP4根据：两点之间线段最短。延展学习，内化知识例2已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，（4）若村庄M，N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？MNABP5N1答：若村庄M，N在公路AB的同侧时，当汽车行驶到P5时，到村庄M、N的距离之和最短。，延展学习，内化知识例2已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，答：如图，当汽车行驶到P时，到村庄M、N的距离之差最大。（5）是否存在一点P，使汽车行驶到该点时，汽车到村庄M、N的距离之差最大？如果存在，请指出该点的位置；如果不存在，请说明理由。BMNAN1P延展学习，内化知识AP点P的位置即为所求.作法：连接AB,线段AB与直线L交于点P。两点在一条直线同一侧差的最大值已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点P，使得︱PA-PB︱最大.为什么呢？︱MA—MB︱﹤AB有︱PA—PB︱=AB三角形任意两边之差小于第三边M延展学习，内化知识LB当点P在直线AB于L交点P时MAP点P的位置即为所求.两点在一条直线异侧差的最大值已知：如图,A、B在直线L的异侧，在L上求一点P，使得︱PA-PB︱最大.为什么呢？︱MA-MB︱=︱MA-MB′︱﹤AB有︱PA—PB︱=︱PA—PB′︱=AB′三角形任意两边之差小于第三边MLB`当点P在直线AB于L交点P时M作法：①作点B关于直线l的对称点B/.②连接AB/,交直线l于点P.B延展学习，内化知识(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求延展学习，内化知识3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBＣ..EDMNGH延展学习，内化知识1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）A·BMNE延展学习，内化知识作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。A·BMNECD延展学习，内化知识•4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD··CEGH延展学习，内化知识ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN延展学习，内化知识FEDCBA·∟BCAAB+ACAB-AC