高中数学双曲线经典例题

螁高中数学双曲线经典例题虿一、双曲线定义及标准方程螈1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）莆A．x=0B．袁C．D．肀2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：蒀（1）焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；膅（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．羁3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是蒁4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．羈5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为．袄二、离心率羁1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．袂2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．蚀3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）羇A．B．C．D．肁3、焦点三角形聿1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，膇已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为．蚆2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．膁3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：葿（1）双曲线的渐近线方程；衿（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．蒄4、直线与双曲线的位置关系薅已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k=＿＿＿＿袀5、综合题型芇如图，已知椭圆12222byax(ab0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.蒇(1)求椭圆和双曲线的标准方程；蚅(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；芁(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．罿高中数学双曲线经典例题芆参考答案与试题解析蚅一．选择题（共2小题）蚂1．（2015秋?洛阳校级期末）已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）蒇A．x=0B．肅C．D．螄【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，蝿∴|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上腿又C1，C2的坐标分别为（﹣4，0）与（4，0）袄∴其垂直平分线为y轴，袄∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0膀②若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（﹣4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（﹣4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2﹣a2=14，故此双曲线的方程为蚇综①②知，动圆M的轨迹方程为袇应选D．羄2．（2014?齐齐哈尔三模）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）薁A．B．C．D．荿【解答】解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．蚆由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，肄同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．羂由，得．．螆于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．莅解不等式，得≤e2≤5．膄由于e＞1＞0，膈所以e的取值范围是．薈故选D．膃二．填空题（共5小题）芄3．（2013秋?城区校级期末）已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为33．蕿【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．羆∵P是双曲线上一点，膆∴||PF1|﹣|PF2||=2a=16，芄又|PF1|=17，羀∴|PF2|=1或|PF2|=33．蚈又|PF2|≥c﹣a=2，羅∴|PF2|=33．莄故答案为33莁4．（2008秋?海淀区期末）已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．膆【解答】解：由题意，角F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程﹣=1螄此时P（c，y），代入双曲线方程﹣=1蒃解得y=螂又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，袈故得=2c，即2ac=c2﹣a2，螇即e2﹣2e﹣1=0，解得e=1薃故双曲线的离心率是衿故答案为．薀5．（2014秋?象山县校级月考）设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为﹣2．薆【解答】解：设双曲线左焦点为F2，蚃由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF|=2a，即|PF|=|PF2|﹣2a，芀则|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|﹣2a≥|F2A|﹣2a，肈当P、F2、A三点共线时，|PF2|+|PA|有最小值，芅此时F2（﹣2，0）、A（3，1），螃则|PF2|+|PA|=|AF2|=，蚁而对于这个双曲线，2a=2，蝿所以最小值为﹣2．肄故答案为：﹣2．袃6．（2011秋?张家港市校级期末）与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是．肁【解答】解：设所求双曲线的方程为，膇∵已知双曲线的焦点为（±，0）肆∴所求双曲线中的c2=5①袃∵双曲线过点膈∴②罿且c2=a2+b2③袅联立①②③解得a2=4，b2=1，羃∴双曲线的方程为．蕿故答案为：．莇7．（2013?湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．蚄【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，肃∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，羀由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c聿∴e==．蚇故答案为：．膂三．解答题（共4小题）莁8．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．薇【解答】解：由题意，双曲线3x2﹣5y2=75，可化为=1蒆由余弦定理可得160=PF12+PF22﹣2PF1?PF2cos120°=（PF1﹣PF2）2+3PF1?PF2=100+3PF1?PF2，节∴PF1?PF2=20．螂S△F1PF2=PF1?PF2sin120°=×20×=5．艿故答案为：A．芅9．（2014春?湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：莂（1）双曲线的渐近线方程；罿（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．蚇【解答】解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则羄∵焦距是实轴长的2倍，蒂∴c=2a，莀∴b==a，蒈∴双曲线的渐近线方程为y=±x；肇（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF22﹣2PF1?PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1?PF2=4a2+PF1?PF2，蒂∵焦距为10，螀∴2c=10，2a=5袆∴PF1?PF2=75．螅∴S△F1PF2=PF1?PF2sin60°=?75?=．薂10．（2008秋?岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．膁【解答】解：设所求双曲线方程为：mx2﹣ny2=1，（mn＞0），薈因为点A（，﹣2）和B（﹣2，）在双曲线上，薄所以可得：，蚂解得，薂故所求双曲线方程为．肆11．（2009秋?天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：薇（1）焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；螁（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．虿【解答】解：（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．螈由题意，得解得a=8，c=10．莆∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36．袁所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．肀（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1蒀由题意，得解得a=3，b=．膅所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．