八年级下册数学正方形的性质和判定

思考：1、在第四章中我们已经学习了哪些特殊的四边形？平行四边形、矩形、菱形。思考：2、分别叙述这三种四边形的定义。复习邻边相等有一个角是直角两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形矩形？菱形？正方形正方形矩形邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）两层含义正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的矩形叫做正方形。1.正方形定义:1、__________________的矩形叫做正方形。快速反应有一组邻边相等的2、的菱形是正方形。有一个角是直角的3、的平行四边形是正方形。有一个角是直角且有一组邻边相等的2、正方形的性质边对角线对边平行四边相等对角线相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角角正方形性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等且对边平行。正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。二、正方形的性质三段论形式：∵四边形ABCD是正方形∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°∴AB＝BC＝CD＝DA∴AD∥BC，AB∥CD∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO∴AC平分∠BAD和∠BCD∴BD平分∠ABD和∠ADCADBCO对称轴思考：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形分别有哪些性质？这些性质可以从哪几个角度概括？平行四边形矩形菱形对边平行且相等四条边都相等对角相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等每条对角线平分一组对角性质图形有有有有有有有有有有有正方形有有有有有有有有有有有请用这四种图形填空A表示：B表示：C表示：D表示：平行四边形矩形（菱形）菱形（矩形）正方形有一组邻边相等且有一个角是直角正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系3、正方形的判定:1.定义法2.先判定是矩形,再判定是菱形，或先判定是菱形,再判定是矩形。动脑想一想①、对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②、对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④、能说“四条边都相等的四边形是正方形吗？”为什么？⑤、能说“四个角都相等的四边形是正方形吗？”为什么？例题1:四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。8解：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD∠AOB=900∠BAC=∠DAC∴∠OAB=450ABCDOEF(2)若AC=4，则正方形边长;正方形的面积是4㎝(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点到正方形一边的距离2√2例2求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O求证：⊿ABO、⊿BCO、⊿CDO、⊿DAO是全等的等腰直角三角形证明：∵四边形ABCD是正方形ADBCO由于正方形的面积等于⊿ABO面积的4倍，所以正方形的面积等于对角线的平方的一半。∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO﹙正方形的对角线相等，并且互相垂直平分﹚∴⊿ABO、⊿BCO、⊿CDO、⊿DAO都是等腰直角三角形，并且⊿ABO≌⊿BCO≌⊿CDO≌⊿DAO做一做现在请大家做一做这样一个实验：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？2、周长为20cm的正方形,边长是对角线长是面积是。1）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。自我检测1、下列说法对吗？5㎝25cm2ABCDO3、如图，有个等腰直角三角形85√2cm解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝2cm，∠ABC＝90°﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚22BCABACABCRt中，在cmAC222222对角线练习1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积。ADBC∵边长AB＝2cm∴周长C＝4AB＝8cm24cmS面积练习2、已知：正方形的一条对角线长为4cm解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚ADBC1、正方形的面积等于边长的平方。2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。3、正方形的周长等于边长的4倍。222822ABScm）（面积cmACAB2242222边长222842121cmACS或面积222ACBCAB在Rt⊿ABC中，求:它的边长和面积。练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且BE＝DF，AC与BC相交于O点，EF与AC相交于P点求证：EF⊥AC，EF∥BD证明：∵四边形ABCD是正方形∴BC＝CD﹙正方形的四条边都相等﹚∵BE＝DF∴EC＝FC∵AC平分∠BCD﹙正方形的每条对角线平分一组对角﹚∴EF⊥AC∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）∴EF∥BDABCDOPFE矩形、正方形（2）4、判断。（1）正方形一定是矩形。（）（2）正方形一定是菱形。（）（3）菱形一定是正方形。（）（4）矩形一定是正方形。（）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（）快速反应矩形、正方形（2）1、在下列性质中，平行四边形具有的是_______，矩形具有的是_________，菱形具有的是_______，正方形具有的是_______________。（1）四边都相等；（2）对角线互相平分；（3）对角线相等；（4）对角线互相垂直；（5）四个角都是直角；（6）每条对角线平分一组对角；（7）对边相等且平行；（8）有两条对称轴。自主学习矩形、正方形（2）2、正方形两条对角线的和为8cm，它的面积为____________.自主学习矩形、正方形（2）3、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE与BF相等吗？为什么？（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。自主学习ABCDEFG尝试练习：（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。尝试练习：（2）如图，正方形ABCD中，AC交BD于O，点M、N分别在AC、BD上，且OM=ON，求证：BM=CN。如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）请你当设计师应用举例：ABCDC/A/B/D/已知：如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'求证：四边形A'B'C'D'是正方形①、由已知正方形证三角形全等；②、证得菱形；③、再证直角；④、是正方形证题思路分析上一页例1已知：如图，在正方形ABCD中，A`A=B`B=C`C=D`D。求证：四边形A`B`C`D`是正方形。证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`∴四边形A`B`C`D`是菱形又∵∠AD`A`=∠BA`B`，∠AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90°∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四边形A`B`C`D`是正方形。例2已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G。求证：四边形EFGH是正方形ADHBCFEG证明：∵AD∥BC，AF、BH是角平分线∴AF⊥BH同理BH⊥CHCH⊥DFDF⊥AF∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°∴四边形EFGH是矩形ABCDEFGH∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠DAF=45°同理∠ABH=∠CBH=45°∠BCH=∠DCH=45°∠CDF=∠ADF=45°∵∠DAF=∠CBHAD=BC∠ADF=∠BCH∴△AFD≌△BHC（ASA）∴AF=BH∵∠BAF=∠ABH∴AE=BE∴EH=EF∴四边形EFGH是正方形课堂练习：1、已知：正方形ABCD中，分别过A、C两点作a∥b,作BM⊥a于M，DN⊥a于N，直线MB、ND分别交b于Q、P。求证：四边形PNMQ是正方形。2、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H，且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形ABCDKFHEG