浙江高考历年真题之立体几何大题(理科)

糖果工作室原创欢迎下载！第1页共16页浙江历年理科高考题之立体几何大题（教师版）1、（2005年）18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)当k＝21时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；(Ⅱ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？解：方法一：(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点，ODPA∥PAPAB又平面，ODPAB平面∥(Ⅱ)ABBCOAOC，，OAOBOC，OPABC又平面，.PAPBPCEPEBCPOE取BC中点，连结，则平面OFPEFDFOFPBC作于，连结，则平面ODFODPBC是与平面所成的角.又ODPA∥，PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF，210sin,30OFRtODFODFOD在中，210arcsin.30PBCPA与平面所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OFPBC平面，∴F是O在平面PBC内的射影奎屯王新敞新疆∵D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，,,OBPCPCBDPBPC，即1k奎屯王新敞新疆反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心奎屯王新敞新疆方法二：OPABC平面，,OAOCABBC，,,.OAOBOAOPOBOP以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图）奎屯王新敞新疆EFDOBCAP糖果工作室原创欢迎下载！第2页共16页DOBCAPxyz设,ABa则222,0,0,0,,0,,0,0222AaBC，设OPh，则0,0,Ph(Ⅰ)D为PC的中点，21,0,42ODah，又21,0,,,//22PAahODPAODPA，ODPAB平面∥(Ⅱ)12k，即7272,,,0,222PAahaPAaa，可求得平面PBC的法向量11,1,7n，210cos,30||||PAnPAnPAn，设PA与平面PBC所成的角为，则210sin|cos,|30PAn，（Ⅲ）PBC的重心221,,663Gaah，221,,663OGaah，,OGPBCOGPB平面，又2221120,,,0,2632PBahOGPBahha，22PAOAha，即1k，反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心奎屯王新敞新疆2、（2006年）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角。解：方法一：（I）因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB。因为AD平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN，因为DM平面ADMN，所以PB⊥DM（II）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD，糖果工作室原创欢迎下载！第3页共16页EDCMAB所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等。因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角。在RtΔBGN中，510sinBGBNBGN故CD与平面ADMN所成的角是510arcsin。方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-XYZ，设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，21，1），D（0，2，0）（Ⅰ）因为3(2,0,2)(1,,1)2PBDM2）·（3(2,0,2)(1,,1)2PBDM0所以PB⊥DM。（Ⅱ）因为(2,0,2)(0,2,0)PBAD0，所以PB⊥AD，又因为PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，因此DCPB的余角即是CD与平面ADMN所成的角。因为DCPBDCPBDCPBcos=510所以CD与平面ADMN所成的角为510arcsin3、（2007年）19．（本题14分）在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．（I）求证：CMEM；（II）求CM与平面CDE所成的角．解：方法一：（I）证明：因为ACBC，M是AB的中点，所以CMAB．又EA平面ABC，所以CMEM．（II）解：过点M作MH平面CDE，垂足是H，连结CH交延长交ED于点F，糖果工作室原创欢迎下载！第4页共16页连结MF，MD．FCM∠是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH平面CDE，所以MHED，又因为CM平面EDM，所以CMED，则ED平面CMF，因此EDMF．设EAa，2BDBCACa，在直角梯形ABDE中，22ABa，M是AB的中点，所以3DEa，3EMa，6MDa，得EMD△是直角三角形，其中90EMD∠，所以2EMMDMFaDE．在RtCMF△中，tan1MFFCMMC∠，所以45FCM∠，故CM与平面CDE所成的角是45．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系Cxyz，设EAa，则(2)Aa，，，(020)Ba，，，(20)Eaa，，．(022)Daa，，，(0)Maa，，．（I）证明：因为()EMaaa，，，(0)CMaa，，，所以0EMCM，故EMCM．（II）解：设向量001yz，，n=与平面CDE垂直，则CEn，CDn，即0CEn，0CDn．因为(20)CEaa，，，(022)CDaa，，，所以02y，02x，即(122)，，n，2cos2CMCMCM，nnn，直线CM与平面CDE所成的角是n与CM夹角的余角，所以45，因此直线CM与平面CDE所成的角是45．EDCMABEHEDCMAByzx糖果工作室原创欢迎下载！第5页共16页4、（2008年）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60？方法一：（Ⅰ）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，所以ADEG∥，从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG∥．因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH．由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得AB平面BEFC，从而AHEF．所以AHB为二面角AEFC的平面角．在RtEFG△中，因为3EGAD，2EF，所以60CFE，1FG．又因为CEEF，所以4CF，从而3BECG．于是33sin2BHBEBEH．因为tanABBHAHB，所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz．设ABaBEbCFc，，，则(000)C，，，(30)Aa，，，(300)B，，，(30)Eb，，，(00)Fc，，．（Ⅰ）证明：(0)AEba，，，(300)CB，，，(00)BEb，，，所以0CBCE，0CBBE，从而CBAE，CBBE，所以CB平面ABE．因为CB平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF．故AE∥平面DCF．DABEFCHGDABEFCyzx糖果工作室原创欢迎下载！第6页共16页（Ⅱ）解：因为(30)EFcb，，，(30)CEb，，，所以0EFCE，||2EF，从而23()03()2bcbcb，，解得34bc，．所以(330)E，，，(040)F，，．设(1)nyz，，与平面AEF垂直，则0nAE，0nEF，解得33(13)na，，．又因为BA平面BEFC，(00)BAa，，，所以2||331|cos|2||||427BAnanBABAnaa，，得到92a．所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60．5、（2009年）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．解：方法一：（Ⅰ）证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OBOCOP，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．则(000)(080)(800)(080)(006)(043)(403)OABCPEF，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．由题意，得(040)G，，．因为(800)(043)OBOE，，，，，，所以平面BOE的法向量(034)，，n．由(443)FG，，，得0FG·n．又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE．（Ⅱ）解：设点M的坐标为00(0)xy，，，则00(43)FMxy，，．因为FM⊥平面BOE，所以FM∥n．zCPFGEABOyx糖果工作室原创欢迎下载！第7页共16页因此，00944xy，．即点M的坐标是9404，，．在平面直角坐标系xOy中，AOB△的内部区域可表示为不等式组008xyxy，，．经检验，点M的坐标满足上述不等式组．所以，在AOB△内存在一点M，使FM⊥平面BOE．由点M的坐标，得点M到OAOB，的距离分别为944，．方法二：（Ⅰ）证明：取PE的中点为H，连结HGHF，．因为点EOGH，，，分别是PAACOCPE，，，的中点，所以HGOEHFEB∥，∥．因此平面FGH∥平面BOE．因为FC在平面PGH内，所以FG∥平面BOE．（Ⅱ）解：在平面OAP内，过点P作PNOE⊥，交OA于点N，交OE于点Q．连结BN，过点F作FMPN∥，交BN于点M．下证FM⊥平面BOE．由题意，得OB⊥平面PAC，所以OBPN⊥．又因为PNOE⊥，所以PN⊥平面BOE．因此FM⊥平面BOE．在RtOAP△中，12445cos255PQOEPAPQNPOOP，，，9tan2ONOPNPOOA·，所以点N在线段OA上．因为F是PB的中点，所以M是BN的中点．因此点M在AOB△内，点M到OAOB，的距离分别为1194224OBON，．PCPFGEABOHPCPFGEABOQNM糖果工作室原创欢迎下载！第8页共16页6、（2010年）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=.432FD沿直线EF将AEF翻折成,'EFA使平面EFA'平面BEF.（I）求二面角CFDA'的余弦值；（II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与'A重合，求线段FM的长.方法一：（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结AH因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF又因为平面AEF平面BEF，及AH平面.AEF所以AH平面BEF。如图建立空间直角坐标系.Axyz则(2,2,22),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD故(2,2,22),(6,0,0