数学竞赛平面几何定理

1EDCBA平面几何一、知识点金1.梅涅劳斯定理：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边,,BCCAAB或它们的延长线分别交于,,PQR，则1BPCQARPCQARB注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2.塞瓦定理：设,,PQR分别是ABC的三边,,BCCAAB或它们的延长线上的点，若,,APBQCR三线共点，则1BPCQARPCQARB注：塞瓦定理的逆定理也成立3.托勒密定理：在四边形ABCD中，有ABCDBCADACBD，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。()ABCDEBAECADABEACDABBEABEACDABCDACBEACCDABAEBACEADABCAEDACADBCEDADBCACEDACADABCDADBCACBEEDABCDADBCACBDEBDABCD证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；注：托勒密定理的逆定理也成立24.西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作,,BCABCA的垂线，垂足分别为,,DEF，则,,DEF三点共线。西姆松定理的逆定理：从一点P作,,BCABCA的垂线，垂足分别为,,DEF。若,,DEF三点共线，则点P在ABC的外接圆上。5．蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。∵△AMD∽△CMB∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∵∠OMX=∠OSX=90°∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY，∵OM⊥PQ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6．坎迪定理：设AB是已知圆的弦，M是AB上一点，弦,CDEF过点M，连结,CFED，分别交AB于,LN，则1111LMMNAMMB。7．斯特瓦尔特定理：设P为ABC的BC边上任一点，则有2222PCBPBPPCAPABACBCBCBCBCBC。注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8．张角定理：设,,ACB顺次分别是平面内一点P所引三条射线,,ABAPAC上的点，线段,ACCB对点P的张角分别为,，且180，则,,ACB三点共线的充要条件是：sin()sinsinPCPBPA39．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。ABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC的外接圆半径的12。证明：ABC的九点圆与ABC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为1:2。10．欧拉线：ABC的垂心H，重心G，外心O三点共线。此线称为欧拉线，且有关系：2HGGO11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R和r，则这两圆的圆心距(2)OIRRr。由此可知，2Rr。证明：设外心为O，内心为I，连结OI，延长交外接圆于,NP两点，令dOI，AI交外接圆于L，则()()2sin22sin2ArRdRdNIIPLIIALBIARRrA12．笛沙格定理;在ABC和ABC中，若,,AABBCC相交于一点O，则AB与AB，BC与BC，AC与AC的交点,,FDE共线。证明：OBC和梅尼线BCD，1OBBDCCBBDCCO；OAB和梅尼线ABF，1OAAFBBAAFBBO；OAC和梅尼线ACE，1OCCEAACCEAAO，三式相乘，得1BDCEAFDCEAFB。得证13．牛顿（Newton）定理1：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证法1：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI’，因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点。证法2：外四边形为ABCD，对应内切四边形为EFGH。连接EG，FH交于P。下面证明BD过P即可。过D座EG的平行线交BA与S，过D做FH的平行线交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M，圆M与圆O，内切圆交于EG，所以其根轴为EG，同理对圆N，DHFT，与圆O交于HF。HF为此两圆的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即可证明BD，EG，HF共于点P。D在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。由于SEGD，和DHFT为等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切线长定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B为圆M与圆N的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT，其为割线长。明显等式成立。所以BD为圆M与圆N的根轴，则BD，EG，HF共于点P。同理AC，EG，HF共于点P。命题得证。414．牛顿（Newton）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。15．牛顿（Newton）定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=QR,L,Q共线，QL/LR=EA/AB；M,R,P共线，RM/MP=CD/DE；N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC。三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR*RM/MP*PN/NQ=1PQR及梅尼线LMN，由梅涅劳斯定理的逆定理知L，M，N三点共线。516．布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。在此，提供用初等几何证明外切于圆的情形。记六边形为ABCDEF外切于圆O，AB，BC，CD,DE,EF,FA上的切点分别是G,H,I,J,K,L.设AB,DC交于X,AF,DE交于Y.则四边形AXDY外切于圆O,切点分别是G,I,J,L。圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点，有AD,GJ,LI共点(记为点P)。同理，BE,GJ,KH共点(记为点r),CF,LI,KH共点（记为点q则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。17．拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。证明：设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。∴∠ADB=∠AFC=60°；∵A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆；∴∠AOB=∠AOC=120°；∴∠BOC=120°；∵△BCE是等边三角形∴∠BEC=60°；∴B、E、C、O四点共圆；∴这3个等边三角形的外接圆共点。设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P相交于O；连AO、CO、BO。∵A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆，B、E、C、O四点共圆，∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；∵NP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；∴BO⊥NP于X；CO⊥MP于Y；AO⊥NM于Z。∴X、P、Y、O四点共圆；Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、O四点共圆；∴∠N=∠M=∠P=60°；即△MNP是等边三角形。18．帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。则H、G、K三点共线。证明：延长AB、CD、EF，分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成△LMN。直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点，则…①直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点，则|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1…②直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点，则…③连BE，则LA·LB=LF·LE，∴…④。同理…⑤，…⑥。将①②③④⑤⑥相乘，得。∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上，∴H、G、K三点共线。619．蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。（1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；（2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；（3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；20．莫利定理（Morley'stheorem），也称为莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。证法一：在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β)在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2=16sin^2βsin^2γ[sin^2(60+γ)+sin^2(60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2αsin^2βsin^2γ.这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2，PR^2有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。证法二：∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ），AF：AB=sinβ：sin（α+β），AB：AC=sin3γ：sin3β，∴AE:AF=（ACsin（α+γ）/sinγ）：（ABsin（α+