数学第二轮专题复习第二部分 专题十一探索性问题的解法

专题十一探索性问题的解法数学第二轮专题复习第二部分应试策略＞＞考题剖析＞＞试题特点＞＞030507探索性问题的解法探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手.近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；试题特点探索性问题的解法(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化.2007年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.试题特点探索性问题的解法应试策略问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有：(1)从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明；(2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在，若推出矛盾，则结论不存在；(3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.应试策略探索性问题的解法考题剖析１.（2007·上海市新中第一考试）（1）证明：当a＞1时，不等式a3+＞a2+成立;（2）要使上述不等式a3+＞a2+成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由;（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明.考题剖析探索性问题的解法［解析］（1）证明：a3+－a2－=(a－1)(a5－1),∵a＞1，∴(a－1)(a5－1)＞0，∴原不等式成立（2）∵a－1与a5－1同号对任何a＞0且a≠1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠131a21a31a31a31a21a31a21a考题剖析（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，则有am+＞an+证：左式－右式=am－an+－=an(am－n－1)－(am－n－1)=(am－n－1)(am+n－1)若a＞1，则由m＞n＞0am－n＞1,am+n＞1不等式成立；若0＜a＜1，则由m＞n＞00＜am－n＜1,0＜am+n＜1不等式成立探索性问题的解法ma1na1ma1na1ma1ma1考题剖析［点评］这是一道类比研究探索结论的问题.阅读理解原有结论、观察规律，然后将命题增加元素、增添次数等方式进行拓展，这是从特殊到一般的研究问题的方式，也是探索型学习的一种常见方式.探索性问题的解法考题剖析2.（2007·上海市十一所实验示范校联考）我们把数列{akn}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和.（1）比较S（1，2）·S（3，2）与［S（2，2）］2的大小；（2）若{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求{an}的k方数列通项公式；（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程.探索性问题的解法考题剖析［解析］（1）S（1，2）=a1+a2,S(3，2)=,S(2，2)=∴S（1，2）·S（3，2）－［S（2，2）］2=(a1+a2)()－()2==a1a2(a1－a2)2∵an＞0,∴S(1,2)·S(3,2)≥［S(2,2)］2探索性问题的解法3231aa2221aa3231aa2221aa22213123212aaaaaa考题剖析（2）设an－an－1=d,则：d(an+an－1)=p①d(an+1+an)=p②∴②－①得2d2=0，∴d=p=0∴an=an－1∴=0∴探索性问题的解法paann212knknaa1kknaa考题剖析（3）当an=n时，恒等式为［S（1，n）］2=S（3，n）证明：［S(1,n)］2=S(3,n)［S(1,n－1)］2=S(3,n－1)(n≥2,n∈N*)相减得：an［S(1,n)+S(1,n－1)］=∴［S(1,n)+S(1,n－1)］=，[S(1,n－1)+S(1,n－2)］=相减得：an+an－1=,an＞0，an－an－1=1,a1=1∴an=n探索性问题的解法3na2na21na212nnaa［点评］本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知识，是一道结论型的探索问题.考题剖析3.（2007·湖南省师大附中三月模拟）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn.（Ⅰ）若a4+a5=0,试验证:S7=S1,S6=S2,S5=S3成立，并将其整合为一个等式；（Ⅱ）一般地，若存在正整数k，使ak+ak+1=0，我们可将（Ⅰ）中的结论作相应推广，试写出推广后的结论，并推断它是否正确.探索性问题的解法考题剖析［解析］（Ⅰ）∵{an}为等差数列,且a4+a5=0.∴S7=S1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=S1+3(a4+a5)=S1S6=S2+a3+a4+a5+a6=S2+2(a4+a5)=S2S5=S3+a4+a5=S3;又S4=S4.∴对任意n∈N*,n＜8,等式S8－n=Sn恒成立.探索性问题的解法考题剖析（Ⅱ）推广：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若存在正整数k，使ak+ak+1=0,则对任意n∈N*,且n＜2k,等式S2k－n=Sn恒成立.设{an}的公差为d,∵ak+ak+1=0,∴2a1+(2k－1)d=0.∴S2k－n=［a1+］(2k－n)=(－d+)(2k－n)=－·(2k－n)=－(2kd－nd)=－(d－2a1－nd)=na1+d=Sn.故推广后的结论正确.探索性问题的解法2)12(dnk212kdnk212dn22n2n2)1(nn［点评］这是一个规律探索性问题.前面相当是一个特例，然后猜想、证明一般结论.考题剖析4.（2007·广东江门一中）函数f(x)=x3+ax2+x+2(x∈R)（Ⅰ）若f(x)在x∈(－∞，+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.（Ⅱ）a=0时，曲线f(x)=x3+x+2的切线斜率的取值范围记为集合A，曲线f(x)=x3+x+2上不同两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系（真子集、相等），并证明你的结论.（Ⅲ）a=3时，f(x)=x3+3x2+x+2的导函数f′(x)是二次函数，f′(x)的图象关于轴对称.你认为三次函数f(x)=x3+3x2+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论.探索性问题的解法考题剖析［解析］（Ⅰ）∵f(x)=x3+ax2+x+2得f′(x)=3x2+2ax+1若Δ=4a2－12＜0,即－＜a＜时,对于x∈R,有f′(x)＞0,∴f(x)在R上单调递增若Δ=4a2－12=0,即a=±时,对于x∈R,有f′(x)≥0,当且仅当f′(－)=0故f(x)在R上单调递增若Δ＞0，显然不合综合所述，f(x)在R上是增函数,a取值范围为a∈［－,］探索性问题的解法3333a33考题剖析（Ⅱ）BA证明：∵f(x)=x3+x+2有f′(x)=3x2+1≥1故A=［1,+∞).设PQ斜率k，则k====∵x1≠x2故若x2=0有x1+=x1≠0若x1+=0有x1=－≠0得x2≠0∴(x1+)2+＞0,得k＞1,∴B=(1,+∞)故BA探索性问题的解法2121)()(xxxfxf21213231)()(xxxxxx2122212121)1)((xxxxxxxx143)2(122221222121xxxxxxx22x22x22x4322x22x考题剖析（Ⅲ）f(x)=x3+3x2+x+2的图象具备中心对称证法1：由f′(x)=3x2+6x+1对称轴x=－1现证f(x)图象关于点C(－1,3)中心对称设M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,且M(x,y)关于C(－1,3)对称的点为N(x0,y0),则得∵f(x0)==(－2－x)3+3(－2－x)2+(－2－x)+2=－(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)－x=－(x3+3x2+x+2)+6=－y+6=y0,即y0=f(x0)故M关于点C(－1,3)对称的点N(x0,y0)也在函数y=f(x)图象∴函数y=f(x)图象关于点C(－1,3)对称探索性问题的解法321200yyxxyyxx62002302030xxx考题剖析证法2：设y=f(x)图象的对称中心(m,n)则把y=f(x)图象按向量b=(－m,－n)平移,得到y=g(x)图象关于原点对称,即y=g(x)是奇函数∵g(x)=f(x+m)－n=(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2－n=(x3+3x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2－n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2－ng(x)是奇函数的充要条件是得∴y=f(x)的图象关于点(－1,3)中心对称探索性问题的解法02303323nmmmm31nm考题剖析［点评］本题主要是考查导数的运用、集合的关系、函数的对称性等问题，第一问实则是探索问题成立的充分条件，第二问是结论探索、第三问是是否存在性问题.探索性问题的解法考题剖析5.（2007·山东省泰安市第一次考试）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且（Ⅰ）判断EF与平面PBC的关系，并证明；（Ⅱ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；（Ⅲ）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.探索性问题的解法2).0(＞FABFEDPE考题剖析［解析］（Ⅰ）EF∥平面PBC.证明如下：作FG∥BC交CD于G，连结EG，则∵∴∴PC∥EG又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G.∴平面PBC∥平面EFG.又EF平面EFG∴EF∥平面PBC探索性问题的解法GDCGFABFFABFEDPEGDCGEDPE（Ⅱ）λ=1，则F为AB的中点.又AB=AD,AF=AB∴在Rt△FAD与Rt△ACD中tan∠AFD===tan∠CAD==∴∠AFD=∠CAD∴AC⊥DF又∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD∴PA⊥DF.∴DF⊥平面PAC考题剖析探索性问题的解法221AFADADAD222ADADADCD22考题剖析（Ⅲ）建立如图所示空间直角坐标系，设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（，0，0），D（0，1，0），C（，1，0），P（0，0，1）.又(λ＞0)∴F()设E(0,y0,z0)则=(0,y0,z0－1),=(0,1－y0,－z0)又(λ＞0)即=λ∴(0,y0,z0－1)=λ(0,1－y0,－z0)∴即E(0,,)∴=(),=(－,0,0)探索性问题的解法FABFEDPE220,0,12PEEDEDPEPEED11100zy11111,1,12EFCD2假设存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°，则cos60°=∴λ2=5∴λ=∴存在实数λ=使异面直线EF与CD所成的角为60°.21322·13