有限元程序设计--第三章 杆单元

湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity敲门砖：杆单元最简单的单元湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020什么是杆•杆的定义–Atrusselementisastraightbarofanarbitrarycross-section,whichcandeformonlyinitsaxisdirectionwhenitissubjectedtoaxialforces.湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020一维等截面杆单元及其刚度矩阵•考虑一个2节点一维等截面杆单元–对于弹性模量为常数的均一截面杆单元，当载荷仅作用在单元的节点上时，单元内部各点的应变为常数，为常应变单元–再次回顾位移-应变和应力-应变关系L—杆长A—截面积E—弹性模量()()()uuxxxdudxE湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020单元特性的直接推导（1）ijuuLLEEkLEALEAAFEAkL杆单元伸长量应变内力应力轴向刚度湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020单元特性的直接推导（2）轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为（直接刚度法）：(2)112(2)221111uFkuF(2)11(2)221111uFEAuLF1111iiijjjfuukkEAfuukkL比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020虚位移原理推导模式步骤1)：假设单元上近似位移函数——位移模式假设单元上的位移为简单多项式函数。有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元位移函数。0011()1hTTuxxxpαpα由于该杆单元只有2个未知位移分量，因此单元上假设的简单位移函数采用一次多项式。故对单元的节点位移进行线性插值。x=0,u(x=0)=u1x=le,u(x=L)=u21021101uuL01121011uuLL121122()()10()11()11()hTeNxNxeuuxxuxxxuuLLLLxPαNddN该式是有限元法中最重要的关系式之一，通过该式把单元上的近似位移分布函数用节点位移来表示，是单元层次上分析的基础。湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020虚位移原理推导模式•形函数的几何意义12()()()xNxNxN12()1()xNxLxNxLN1N2xL011122111221()()()euuuxNxuNxuuxl湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020虚位移原理推导模式步骤2)：单元的应力和应变2111221()()()uuuxNxuNxuuxL21xuuuxLeexLxuBdNd111xxLxLLLLBN湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020虚位移原理推导模式步骤3)：虚位移原理推导单元刚度矩阵弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能弹性体的虚位移：假想在弹性体上发生的，满足位移许可条件（内部连续，边界协调）的微小、任意位移场；可以理解为某个位移场的微小扰动（变分）。jiuuddNufdTdB)(udxd节点虚位移单元虚位移分布则单元虚应变节点力（外力）虚功TTTTVVVdVEdVEdVTdBBddBBd湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020虚位移原理推导模式dBBdfdTdVEVTTkddBBfTdVEVVEdVTkBB回顾虚位移原理刚度矩阵的一般形式湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020简单的说明•在单元局部坐标系下，每个节点一个未知位移分量和一个自由度，单元共有2个自由度；•单元刚度矩阵的物理意义01jiuu2111kkffji11122122iijjfukkfukk单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示：当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为0时，施加在单元上的节点力分量。湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020一个单元的例子Pl湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020一个简单的例子解析解220xuEfx()PuxxEAxPA有限元解(1trusselement)1111eAElK=k1122?1111uFAEuFPl1122?1111uFAEuFPl2PluAE120()()11euxxxxPuxxxPlullllEAEANd2011xePEEullABd湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020两个单元的例子12111211uuEALk23211211uuEALk321321110132022FFFuuuLEA组装，对号入座1320,uuFP31200110132022FPFuLEA23PLuEA0103321EAPLuuuAPEAPLLELuuELEE30312111APEAPLLELuuELEE33023222湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020平面和空间的杆单元•2D问题局部总体每节点一个自由度X，Y每节点2个自由度,iiuviivu,,xy湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020平面和空间的杆单元•2D问题：向量的坐标变换–节点的位移分量和节点力分量在2-D局部坐标系x-y下描述。节点上的位移和节点力向量在2-D局部坐标系与2-D总体坐标系下的变换如下：iidTd~''cossinsincosiiiiiiiiiiuuuvlmvuvuvmlv''iiiiulmuvmlvcos,sinlm湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020平面和空间的杆单元–向量的变换矩阵–节点位移变换lmmlT~T~~TT1''''iiiijjiilmuumlvvlmuumlvviidTdT00TT~~FTF湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity2/20/2020平面和空间的杆单元•刚度矩阵的坐标变换1111iijjuFAEuFLyjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101kdF写成矩阵符号形式利用前面的向量坐标变换式KTdTFTddFTFTTkTdFkTdTFkdF考虑到变换矩阵的正交性，得：总体坐标系中的单元刚度矩阵TkTkT湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity平面和空间的杆单元•整体刚度矩阵TkTkT22222222mlmllmlmllmlmlmmlmlmllmlLAEk湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity例子21,23,30oml30oxˆyxLA=2in2E=30x106psiL=60insymmetric4143414343434343414341434343434360)1030)(2(6k22222222mlmllmlmllmlmlmmlmlmllmlLAEk湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity例子xyE=30×106psiElementNodeNode(ft)A(in)11210.002900101021314.142450.70710.70710.50.50.531410.002010100ijLlmlmlm2θ22湖南大学机械与运载工程学院CollegeofMechanical&VehicleEngineering,HunanUniversity总体刚度矩阵的构造ElementNodeNode