20170403排列组合应用题解题策略(2课时)解析

排列组合应用题解题策略解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素(位置)优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？25451440AA练习题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将相邻元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。三.不相邻问题插空策略元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，55A第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种55A46A相相独独独练习题1、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？45120A2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）2520A3、某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么熄灯方法共有______种。3856C四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法47A147A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法4*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.排列组合混合问题先选后排策略例5.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种192134244CCA六.相同元素分配问题隔板处理例6.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C七.正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.例7.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______34623223111124421128122(1)244(2)11,32(3)11192++=AAAAAAAAA左2，=6种前排右，=6种，共种后排=110种左右种前后，种,共44110192346种22212032112346AAAA(15上海)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为____(结果用数值表示)12012612341,,,.(1)103?212,4ABABCCCABABDDDDCAB练习：如图，在以为直径的半圆周上，有异于的六个点，，线段上有异于的四个点，，，以这个点中的个点为顶点可以作出多少个三角形其中含有的点有多少个？（）以图中的个点（包含）中的个为顶点，可作出多少个四边形？33104116CC431412666360CCCC八.平均分组问题除法策略平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。nnA例8（1）将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？544138422CCCA（2）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______2226422290ACCA九.合理分类与分步策略(多面手问题)例9.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理共有______________________种。2233CC112534CCC2255CC2233CC112534CCC2255199CC++本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习：3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.27213213123211132216121+2131321316(2)21+2312223112+++=CCCCACCC号船2大1小，2号船1大1小（）选只船，号号号船1大2小，2号船2大号人号人号人选只船，号号号号人号人号人共6361227种十.化归策略例10.25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？31115543600CCCC某城市的街区由12个全等的矩形区组成,其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？练习题BA3735C12345123451{(,,,,)|{-1,0,1},1,2,3,4,5},“1||||||||||3______iAxxxxxxiAxxxxx练习、(14广东)设集合那么集合中满足条件”的元素个数为1152211522311152221,102,403,80104080130tCCtCCCtCCCC2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三个数，求这三个数互不相连的取法.插空法12453679837C“不邻问题”插空法:即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略.3.8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求满足如下条件各有多少种情况：(1)4只鞋子恰成两双；(2)4只鞋子只有一双;(3)4只鞋子没有成双的.28C28896CCCC121227181120CCCCC12121212484.在如图7×4的方格纸上(1).其中有多少个矩形?(2).一只小蚂蚁从A点出发到B点有多少种最短走法?AB411C28C25·C等价转化右上从A点出发到B点,共走11步,其中7步向右,四步向上,从这11步中选出四步向上的选法共有种.右上右上右右右右上5.如图,某射击游戏摊位悬挂3列共8个气球,游戏规则如下:每次击中的气球必须位于它所在那一列的最下端,击中这8个气球全部打法共有多少种?解:问题实质还是定序问题如图,用8个空格代表第1~第8共8个次序.先从8个空格中选出3个空格并放入第一列气球,共有___选法;再从剩下的5个空格中选出2个空格并放入第二列的气球,有___种排法,最后剩下的3个空格放入第三列的气球.38C25C38C25C·