高考数学基础教材(艺术生用)

第1节常见不等式及其解法1．一元一次不等式的解法不等式ax＞b(a≠0)的解集为：当a＞0时，解集为{x|x＞ba}．当a＜0时，解集为{x|x＜ba}．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅温馨提示：二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集例1．解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－814≥0；(4)－12x2＋3x－5＞0；(5)－2x2＋3x－2＜0；(6)已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．例2．解下列不等式：(1)x＋23－x≥0；(2)2x－13－4x11．已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q＝()A．[2,3]B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．(2,3]D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．设a0，不等式－cax＋bc的解集是{x|－2x1}，则a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．2∶1∶3C．3∶1∶2D．3∶2∶13．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)4．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是()A．(－2,2]B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D．(－∞，2]5．解下列不等式214x1213x6．解下列方程组213211xyxy2214xyxy22112yxxy第2节高考数学中的运算——对数运算对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数（真数必为正数）．当a＝10时叫常用对数，记作x＝lgN；当a＝e时叫自然对数，记作x＝lnN．(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：①loga1＝0．②logaa＝1，mamalog③对数恒等式：alogaN＝N．④换底公式：logab＝logcblogca，推广logab＝1logbalogab·logbc·logcd＝logad．(3)对数的运算法则：如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM=1．化简下列各式：(1)14lg23lg5lg5(2)3lglg70lg37(3)2lg2lg5lg201(4)25941loglog27log1232352（15．浙江）计算：22log2________，24log3log32________．若，则________．3．方程log2(1－2x)＝1的解x＝_________．计算log6[log4(log381)]＝_________．4．有下列五个等式，其中a0且a≠1，x0,y0，其中正确的是．①log()loglogaaaxyxy，②22log()2(loglog)aaaxyxy③1logloglog2aaaxxyy，④logloglog()aaaxyxy第3节高考数学中的运算——三角计算一．任意角1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．3．角的分类（1）正角：按方向旋转形成的角；加一个角按方向旋转．（2）负角：按方向旋转形成的角；减一个角按方向旋转．（3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．任意角大小比较：，因此小于90°的角不一定是锐角…………4．象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．二．弧度制1．角度制和弧度制角度制用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制备注：在同一个式子中，角度制不可与弧度制混用！2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr．扇形的面积公式：4．角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的互化：角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈0．01745rad1rad＝(180π)°≈57．30°(2)一些特殊角与弧度数的对应关系：度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π三．任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义将角的顶点与原点O重合，始边与直角坐标系x轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P(x，y)，则对应角的正弦值sinα＝22yxy，余弦值cosα＝22yxx，正切值tanα＝xy，常记22yxr．由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）0π6π4π3π22π33π45π6正弦余弦正切2．三角函数值的符号例1．根据下列条件求sinα，cosα，tanα．(1)α＝－π3；(2)已知角α的终边经过点P(－3,4)．(3)角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，则sinα＝________；(4)已知角α的终边过点P(5，a)，且tanα＝－125，求sinα＋cosα的值．1．已知角α的终边经过点P(－1,2)，则cosα的值为()A．－55B．－5C．255D．522．α是第二象限角，P(x，5)是其终边上一点，且cosα＝24x，则x的值为()A．3B．±3C．－3D．－23．如果点P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若角α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在第________象限．5．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________．四．同角三角函数的基本关系由三角函数定义易得同角三角函数的基本关系式：平方关系商数关系sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα(α≠kπ＋π2，k∈Z)同一个角的正弦．余弦的平方和等于1，商等于该角的正切值．1．以上公式揭示了“同角”的三角函数的运算规律．公式中α是任意的，只要是同一个角就有上述式子成立，如sin22α＋cos22α＝1，tan3α＝sin3αcos3α都是成立的．2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”：）sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α；tanα＝sinαcosα⇔sinα＝tanα·cosα．例1．已知tanα＝43，且α是第三象限角(1)求sinα，cosα的值；(2)求6sinα－2cosα3sinα＋5cosα的值．例2．(1)已知sinα－cosα＝12，求sinαcosα的值．(2)已知0＜α＜π，sinα＋cosα＝15，求tanα的值．(3)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102求tan2α．(4)已知3tansin2，求44cossin的值．五．三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝，cos(α＋2kπ)＝，tan(α＋2kπ)＝[k∈Z]．(2)公式二：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝．(3)公式三：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝．(4)公式四：sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝．(5)公式五：sin(π2－α)＝，cos(π2－α)＝，tan(π2－α)＝．(6)公式六：sin(π2＋α)＝，cos(π2＋α)＝，tan(π2－α)＝．口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”例．已知f(α)＝cosπ2＋α·cos2π－α·sin－α＋3π2sin－π－α·sin3π2＋α．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于()A．223B．－233C．13D．－132．填正负号：)32sin(__)23sin(xx，)32cos(__)23cos(xx，)3tan(__)3tan(xx第4节正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的三条对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab能解的三角形1．已知两角及任一边2．已知两边和其中一边对角（也可用余弦定理）1．已知三边2．已知两边和其夹角2．三角形面积公式设△ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S．(1)S＝12ah(h为BC边上的高)；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB（一般根据角选公式）重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，因此sin(A+B)=，cos(A+B)=.重要结论1：在△ABC中，若coscosaAbB，则三角形的形状为：结论2：在△ABC中求证：coscosaBbAc；coscoscBbCa；coscosaCcAb．结论3：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较