第2章 优化的数学模型与数学基础

第二章优化设计的数学模型和数学基础§2-1优化设计问题的示例§2-2优化设计的数学模型§2-3优化问题的几何解释和基本解法§2-4方向导数与梯度§2-5凸集、凸函数与凸规划（自学）§2-6二次函数及正定矩阵§2-7无约束优化问题的极值条件§2-8等式约束优化问题的极值条件§2-9不等式约束优化问题的极值条件§2-1优化设计问题的示例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。分析：（1）包装箱表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；x1x2x3箱盒的优化设计例：欲设计一个体积为5m3的包装箱，其中一边长不小于4m，在各面使用相同板材的情况下，要求使用板材最少，则该包装箱的长x1、宽x2、高x3各为多少？数学模型123,,xxx122313min2()Sxxxxxx1231234005xxxxxx设计参数：设计目标：约束条件：12341.1181.118min20.3885xxxS某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：（1）产值的表达式；（2）设计参数确定：A产品xA，B产品xB；（3）设计约束条件：（a）生产资源煤约束；（b）生产资源电约束；（b）生产资源劳动力约束；最大产值生产资源分配问题数学模型,ABxxmaxAABBPPxPxCACBEAEBLALBaxbxCaxbxEaxbxL设计参数：设计目标：约束条件：已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(V)与重量(W)的表达；（2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）；（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型1,,mzb2211min[()()]4Wbmzmiz1122111[]0[]0[]01.20170FFFFHHbmzz设计参数：设计目标：约束条件：§2-2优化设计的数学模型1.设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。1212[,,,]TnnxxXxxxx由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”方案，可用设计空间中的一个点表示。12,,,nxxx设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。图2-1设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图2-1（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图2-1（b）所表示的空间直角坐标表示。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。2.约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束()0hX()0gX显式约束隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。图2-2设计空间中的约束面（或约束线）(a)二变量设计空间中的约束线(b)三变量设计空间中的约束面如图2-3上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16≤0和g2（X）＝2—x2≤0的二维设计问题的可行域D，它位于x2=2的上面和圆x12＋x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内。图2-3约束条件规定的可行域D可行域:在设计空间中，满足所有约束条件所构成的空间。3.目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向f(X)值改善的方向自动调整，最后求得f(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。12()()nfXfxxx，，，为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以f(X)表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系（权衡）。目标函数等值（线）面()fcx目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，f(x1,x2)=c代表x-x设计平面上的一族曲线。（同心圆）对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。（同心圆、同心球）图2-4等值线图2-4表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中f=40的等值线就是使f(x1,x2)=40的各点[x1x2]T所组成的连线。如图函数的等值线图。2212121212(,)60104fxxxxxxxx图2-5等值线42221121212129()222442fXxxxxxxxxx4.优化设计问题一般数学形式满足约束条件：12[]TnXxxx()minfX()0(1,2,,)khXkl()0(1,2,,)jgXjm求设计变量向量使目标函数12min()(),..()01,2,,()01,2,,nnkjfXfxxxXRsthXklgXjm，，，写成数学表达式：对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求［-f（X）］的最小值，因为min［-f（X）］与maxf（X）是等价的。当然，也可看成是求1／f（X）的极小值。5.建模实例1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：配料每磅配料中的营养含量钙蛋白质纤维每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：混合饲料配合1231231231232323min0.01640.04630.1250..1000.3800.0010.0020.0121000.3800.0010.0020.0081000.090.500.221000.020.080.05100Zxxxstxxxxxxxxxxxxx123000xxx解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。123xxx12312312312323231min()0.01640.04630.1250..1000.3800.0010.0021.200.3800.0010.0020.800.090.502200.020.08500fXxxxstxxxxxxxxxxxxxx2300xx6.优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；二次规划、几何规划、随机规划等。n